Ableitungsregeln – alle 18 Regeln erklärt

Konstantenregel

\frac{d}{dx}c = 0

Eine Größe, die sich nie ändert, hat keine Änderungsrate.

\frac{d}{dx}x = 1

Die Variable ändert sich genau so schnell wie sie selbst.

\left(f + g\right)' = f' + g'

Summand für Summand ableiten und die Ergebnisse wieder addieren.

\left(cf\right)' = c\,f'

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen.

\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}

Den Exponenten als Faktor nach vorn holen und dann um eins verringern.

\left(fg\right)' = f'g + fg'

Jeden Faktor einmal ableiten und den anderen dabei stehen lassen.

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}

Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles geteilt durch den Nenner zum Quadrat.

\left(f \circ g\right)' = f'(g)\,g'

Äußere Ableitung mal innere Ableitung: die äußere Funktion ableiten, das Innere unverändert lassen und mit der Ableitung des Inneren multiplizieren.

\frac{d}{dx}a^{x} = a^{x}\ln a

Eine Exponentialfunktion wächst proportional zu ihrer eigenen Größe; der Proportionalitätsfaktor ist \(\ln a\).

\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}

Der natürliche Logarithmus hat als Ableitung den Kehrwert seines Arguments.

\frac{d}{dx}\log_{a} x = \frac{1}{x\ln a}

Ein Logarithmus zu einer beliebigen konstanten Basis ist der natürliche Logarithmus, gestaucht um einen festen Faktor.

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x

Die sechs trigonometrischen Funktionen gehen beim Ableiten in einem kurzen, geschlossenen Kreislauf ineinander über.

\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^{2}}

Die Umkehrfunktionen der Winkelfunktionen haben algebraische Ableitungen – im Ergebnis bleibt keine Trigonometrie übrig.

\frac{d}{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^{2} x

Die Hyperbelfunktionen verhalten sich wie die Winkelfunktionen, nur ohne die abwechselnden Minuszeichen.

\frac{d}{dx}\operatorname{artanh} x = \frac{1}{1 - x^{2}}

Wie die Ableitungen der Arkusfunktionen, nur mit umgedrehten Vorzeichen unter den Wurzeln.

\frac{d}{dx}\left|x\right| = \operatorname{sgn} x, \; x \neq 0

Abseits des Knicks ist die Betragsfunktion eine Gerade mit der Steigung \(\pm 1\).

\frac{d}{dx}f^{g} = f^{g}\left(g'\ln f + \frac{gf'}{f}\right)

Steht die Variable gleichzeitig in Basis und Exponent, logarithmierst du zuerst.

\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}

Enthält die Basis eines Logarithmus die Variable, wechselst du zur Basis \(e\) und nimmst die Quotientenregel.