Ableitungsrechner

Potenzregel

Den Exponenten als Faktor nach vorn holen und dann um eins verringern.

\[\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}\]

Was die Regel besagt

Für eine natürliche Zahl \(n\) liefert der binomische Lehrsatz \((x + h)^{n} = x^{n} + n x^{n-1}h + \left(\text{Terme mit } h^{2} \text{ und höher}\right)\). Ziehst du \(x^{n}\) ab, teilst durch \(h\) und lässt \(h \to 0\) gehen, bleibt nur \(n x^{n-1}\) übrig.

Die Regel gilt für jeden reellen Exponenten, nicht nur für positive ganze Zahlen – negative, gebrochene und irrationale Exponenten gehorchen ihr genauso. Damit ist sie das Arbeitspferd für Wurzeln und Kehrwerte, sobald man sie als Potenzen schreibt: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) und \(\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}\).

Das Muster merkt man sich am besten in Worten: Der alte Exponent wird zum Vorfaktor, der neue Exponent ist um eins kleiner.

Wann sie gilt

  • Die Basis ist die Variable, der Exponent eine Konstante.
  • Wurzeln und Kehrwerte, nachdem du sie mit Exponenten geschrieben hast.
  • Zusammen mit der Kettenregel, wenn die Basis eine Funktion ist: \(\left(u^{n}\right)' = n u^{n-1}u'\).

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[x^{5}\right]\]

  1. Der Exponent \(5\) wandert nach vorn und sinkt auf \(4\).

    \[\frac{d}{dx}\left[x^{5}\right] = 5x^{5-1}\]

  2. Exponent ausrechnen.

    \[= 5x^{4}\]
Ergebnis
\[5 x^{4}\]

f ist punktsymmetrisch und abseits des Ursprungs sehr steil. f′ ist achsensymmetrisch und nie negativ, f steigt also überall und wird nur bei \(x = 0\) kurz waagerecht. Diese Stelle ist kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt – die Kurve steigt einfach weiter.

Der einfachste Fall: ein positiver ganzzahliger Exponent.

x^5 im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x}\right]\]

  1. Die Wurzel als Potenz schreiben.

    \[\sqrt{x} = x^{1/2}\]

  2. Die Regel mit \(n = \tfrac{1}{2}\) anwenden.

    \[= \tfrac{1}{2}x^{-1/2}\]

  3. Ein negativer Exponent bedeutet einen Nenner.

    \[= \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Ergebnis
\[\frac{1}{2 \sqrt{x}}\]

Beide Kurven enden links, denn keine von beiden existiert für negative x. f′ stürzt aus großer Höhe zur Achse und liegt ab etwa \(x = 0{,}5\) unter f.

Die Ableitung wächst für \(x \to 0^{+}\) über alle Grenzen: Der Graph der Wurzelfunktion steht im Ursprung senkrecht.

sqrt(x) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{3}}\right]\]

  1. Die Potenz mit negativem Exponenten nach oben holen.

    \[\frac{1}{x^{3}} = x^{-3}\]

  2. \(-3\) nach vorn; \(-3 - 1 = -4\).

    \[= -3x^{-4}\]

  3. Zurück in Bruchform.

    \[= -\frac{3}{x^{4}}\]
Ergebnis
\[-\frac{3}{x^{4}}\]

Eine Polstelle bei \(x = 0\) teilt die Kurve in zwei Äste, und f′ ist auf beiden negativ: f fällt überall, wo es definiert ist.

Einen negativen Exponenten um eins zu verringern macht ihn noch negativer. Genau dieser Schritt geht am häufigsten schief.

1/x^3 im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{2}{3}}\right]\]

  1. Die Regel mit \(n = \tfrac{2}{3}\) anwenden.

    \[= \tfrac{2}{3}x^{2/3 - 1}\]

  2. Exponenten subtrahieren.

    \[= \tfrac{2}{3}x^{-1/3}\]

  3. Als dritte Wurzel schreiben.

    \[= \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\]
Ergebnis
\[\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}\]

Auf die positive Seite beschränkt, wo beide Kurven reell sind. f steigt mit sichtbar abnehmender Steigung, und f′ gleitet zur Achse hin.

Gebrochene Exponenten funktionieren genauso – nur die Bruchrechnung ist etwas fummeliger.

x^(2/3) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[4 x^{7} - x^{2}\right]\]

  1. Die Summenregel trennt die Summanden, die Faktorregel zieht die \(4\) heraus.

    \[= 4\;\frac{d}{dx}\left[x^{7}\right] - \frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]\]

  2. Potenzregel auf jeden Summanden.

    \[= 4 \cdot 7x^{6} - 2x\]

  3. Ausmultiplizieren.

    \[= 28x^{6} - 2x\]
Ergebnis
\[28 x^{6} - 2 x\]

Nahe dem Ursprung gewinnt der Term \(-x^{2}\), und f taucht unter die Achse; weiter draußen übernimmt die siebte Potenz, und die Kurve steigt steil an.

So begegnet dir die Potenzregel meistens: innerhalb einer Summe, mit Vorfaktoren im Schlepptau.

4x^7 - x^2 im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Steht die Variable im Exponenten – \(2^{x}\), \(x^{x}\) –, ist das die völlig falsche Regel.
  • Bei einer zusammengesetzten Basis wie \((3x + 1)^{4}\) muss die Kettenregel den zusätzlichen Faktor \(u'\) liefern.
  • \(x^{0} = 1\) ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also \(0\).
KettenregelFaktorregelAbleitung der Exponentialfunktion