Eigene Aufgabe prüfen
Tippe einen beliebigen Ausdruck ein, um deine Rechnung zu kontrollieren, oder nimm eines der Beispiele.
21 Aufgaben, nach Regeln sortiert
Versuch jede Aufgabe erst auf Papier, dann öffne die Lösung. Ein Klick lädt die Aufgabe in den Rechner, mit jedem Schritt.
Aufwärmen – je eine Regel
Geprüft: Potenz-, Faktor-, Summenregel
- \(\frac{d}{dx}\left[5 x^{4}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[x^{3} - 4 x + 7\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{x^{2}}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[2 \sqrt{x}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[x^{5} + x^{\frac{1}{3}}\right]\)
Produkt- und Quotientenregel
Geprüft: Produkt-, Quotientenregel
- \(\frac{d}{dx}\left[x^{2} \sin\left(x\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[x e^{x}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x\right) \cos\left(x\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln\left(x\right)}{x}\right]\)
Kettenregel
Geprüft: Kettenregel
- \(\frac{d}{dx}\left[\sin\left(3 x\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\left(2 x + 1\right)^{5}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[e^{x^{2}}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1 + x^{2}\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]\)
Gemischt – erst die Regel erkennen
Geprüft: alle Regeln
- \(\frac{d}{dx}\left[x^{2} e^{3 x}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\tan\left(x^{2}\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{x^{2} + 1}\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[e^{x} \cos\left(x\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]\)
- \(\frac{d}{dx}\left[x^{x}\right]\)
33 Standardableitungen, die du kennen solltest
Diese Formen stecken in fast jeder Klausuraufgabe. Jede Gruppe führt zur passenden Regelseite mit fünf durchgerechneten Beispielen und Graphen.
Potenzen und Wurzeln
| f(x) | f′(x) | Öffnen |
|---|---|---|
| \(x^{2}\) | \(2 x\) | Rechenweg |
| \(x^{3}\) | \(3 x^{2}\) | Rechenweg |
| \(x^{n}\) | \(n x^{n - 1}\) | Rechenweg |
| \(\sqrt{x}\) | \(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\) | Rechenweg |
| \(\sqrt[3]{x}\) | \(\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\) | Rechenweg |
| \(\frac{1}{x}\) | \(-\frac{1}{x^{2}}\) | Rechenweg |
| \(\frac{1}{x^{2}}\) | \(-\frac{2}{x^{3}}\) | Rechenweg |
| \(x^{\frac{2}{3}}\) | \(\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}\) | Rechenweg |
Winkelfunktionen
| f(x) | f′(x) | Öffnen |
|---|---|---|
| \(\sin\left(x\right)\) | \(\cos\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\cos\left(x\right)\) | \(-\sin\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\tan\left(x\right)\) | \(\sec^{2}\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\sec\left(x\right)\) | \(\sec\left(x\right) \tan\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\csc\left(x\right)\) | \(-\cot\left(x\right) \csc\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\cot\left(x\right)\) | \(-\csc^{2}\left(x\right)\) | Rechenweg |
Exponentialfunktion und Logarithmus
| f(x) | f′(x) | Öffnen |
|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | Rechenweg |
| \(e^{2 x}\) | \(2 e^{2 x}\) | Rechenweg |
| \(2^{x}\) | \(2^{x} \ln\left(2\right)\) | Rechenweg |
| \(a^{x}\) | \(a^{x} \ln\left(a\right)\) | Rechenweg |
| \(\ln\left(x\right)\) | \(\frac{1}{x}\) | Rechenweg |
| \(\log_{2}\left(x\right)\) | \(\frac{1}{x \ln\left(2\right)}\) | Rechenweg |
| \(x \ln\left(x\right)\) | \(\ln\left(x\right) + 1\) | Rechenweg |
Hyperbel- und Areafunktionen
| f(x) | f′(x) | Öffnen |
|---|---|---|
| \(\sinh\left(x\right)\) | \(\cosh\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\cosh\left(x\right)\) | \(\sinh\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\tanh\left(x\right)\) | \(\operatorname{sech}^{2}\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\operatorname{arsinh}\left(x\right)\) | \(\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}\) | Rechenweg |
| \(\operatorname{artanh}\left(x\right)\) | \(\frac{1}{-x^{2} + 1}\) | Rechenweg |
Weitere Standardformen
| f(x) | f′(x) | Öffnen |
|---|---|---|
| \(\left|x\right|\) | \(\operatorname{sgn}\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(x \sin\left(x\right)\) | \(x \cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)\) | Rechenweg |
| \(\frac{\sin\left(x\right)}{x}\) | \(\frac{x \cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}}\) | Rechenweg |
| \(x^{x}\) | \(x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\) | Rechenweg |
Die richtige Regel wählen
Das Schwierige an einer Ableitungsaufgabe ist fast nie die Algebra – sondern die Entscheidung, welche Regel der Ausdruck verlangt. Geh in dieser Reihenfolge vor, und die Entscheidung wird zur Routine:
- Ist es eine Summe? Zerlegen. Jeden Summanden für sich ableiten und die Ergebnisse addieren.
- Gibt es einen konstanten Faktor? Nach vorn ziehen und bis zum Schluss vergessen.
- Ist es ein Produkt oder Quotient zweier Terme, die beide \(x\) enthalten? Produkt- oder Quotientenregel.
- Steckt eine Funktion in einer anderen? Kettenregel – und das Innere unverändert lassen, während du außen ableitest.
- Sonst ist es eine Standardform: in der Tabelle oben nachschlagen.
Die meisten Ausdrücke brauchen zwei oder drei davon hintereinander. \(x^{2}e^{3x}\) ist ein Produkt, dessen zweiter Faktor die Kettenregel braucht; \(\ln(\sin x)\) ist eine Verkettung, deren Inneres eine Standardform ist.
Gewohnheiten, die Fehler verhindern
- Schreib neben jede Zeile den Namen der Regel, die du verwendest. Kannst du sie nicht benennen, rätst du.
- Prüfe erst die Form deines Ergebnisses, dann die Details: Ein Ergebnis der Produktregel hat zwei Summanden, eines der Quotientenregel ist ein Bruch.
- Ableiten muss nicht vereinfachen. \(e^{x}(1+x)\) und \(e^{x} + xe^{x}\) sind dasselbe Ergebnis.
- Prüfe am Graphen: Dein \(f'\) muss überall dort null werden, wo \(f\) einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Der Graphen-Rechner zeigt beides zugleich.
- Wenn du feststeckst, rechne einmal mit der h-Methode. Das ist langsam, hängt aber nie davon ab, eine Regel im Kopf zu haben.
Häufige Fragen
Woran erkenne ich, welche Ableitungsregel ich brauche?
Prüfe der Reihe nach: Summe, konstanter Faktor, Produkt oder Quotient, Verkettung, dann Standardform. Die meisten Ausdrücke brauchen zwei oder drei Regeln hintereinander.
Sind die Lösungen auf dieser Seite geprüft?
Ja. Jede Lösung hier wird beim Erstellen der Seite von der Engine der Website berechnet, und deren Ergebnisse werden in der Testsuite mit numerischen Ableitungen abgeglichen.
Wo bekomme ich unbegrenzt viele Aufgaben?
Die Übungskarte im Hauptrechner erzeugt auf Knopfdruck eine neue Aufgabe, gefiltert nach einer Art von Funktion – trigonometrisch, Exponential und Logarithmus, Polynome und Wurzeln, Arkusfunktionen oder Hyperbelfunktionen.
Welche Ableitungsaufgaben kommen in Klausuren und im Abitur dran?
Fast genau die vier Aufgabensätze oben: die Regeln einzeln, dann Produkte und Quotienten, dann die Kettenregel, dann gemischte Aufgaben, bei denen das Erkennen der Regel die eigentliche Prüfung ist. Kurvendiskussion und Extremwertaufgaben bauen auf denselben Fähigkeiten auf.
Wie prüfe ich ein von Hand gerechnetes Ergebnis?
Gib deine Funktion in einen der Rechner auf dieser Website ein und vergleiche – oder öffne die Aufgabe direkt: Jede Aufgabe unten führt in den Rechner, mit dem Ausdruck schon eingetragen.