Ableitungsrechner

Ableitung der Winkelfunktionen

Die sechs trigonometrischen Funktionen gehen beim Ableiten in einem kurzen, geschlossenen Kreislauf ineinander über.

\[\frac{d}{dx}\sin x = \cos x\]

Was die Regel besagt

Alles folgt aus einem einzigen Grenzwert, \(\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1\): Nahe null ist der Sinus eines Winkels ungefähr der Winkel selbst. Setzt man das in den Differenzenquotienten von \(\sin x\) ein, erhält man \(\cos x\); der Rest der Familie folgt mit der Quotientenregel.

Die vollständige Tabelle: \(\left(\sin x\right)' = \cos x\), \(\left(\cos x\right)' = -\sin x\), \(\left(\tan x\right)' = \sec^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}\), \(\left(\sec x\right)' = \sec x\tan x\), \(\left(\csc x\right)' = -\csc x\cot x\), \(\left(\cot x\right)' = -\csc^{2}x\). Jede Kofunktion (Kosinus, Kosekans, Kotangens) trägt ein Minuszeichen – eine verlässliche Merkhilfe.

Nach vier Ableitungen ist \(\sin\) wieder bei \(\sin\) angekommen. Deshalb wiederholen sich die höheren Ableitungen der Winkelfunktionen mit der Periode vier.

Wann sie gilt

  • Eine der sechs Winkelfunktionen, angewendet auf die Variable.
  • Zusammen mit der Kettenregel, wenn der Winkel ein zusammengesetzter Ausdruck ist, etwa \(\sin(3x)\).
  • Alles gilt im Bogenmaß – im Gradmaß käme ein zusätzlicher Faktor \(\frac{\pi}{180}\) hinzu.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x\right)\right]\]

  1. Direkt aus der Tabelle.

    \[\frac{d}{dx}\left[\sin x\right] = \cos x\]
Ergebnis
\[\cos\left(x\right)\]

Das Paar läuft um eine Vierteldrehung versetzt. f′ hat dort ein Maximum, wo f die Achse kreuzt, also am steilsten Stück der Welle, und ist an den Hochpunkten von f null. Zieh das Fadenkreuz entlang und beobachte, wie die beiden Anzeigen jede Viertelperiode die Rollen tauschen.

Die Sinuskurve ist dort am steilsten, wo der Kosinus seinen Hochpunkt hat, bei \(x = 0\), und an ihren eigenen Hochpunkten waagerecht.

sin(x) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\cos\left(x\right)\right]\]

  1. Die Kofunktion bekommt ein Minuszeichen.

    \[\frac{d}{dx}\left[\cos x\right] = -\sin x\]
Ergebnis
\[-\sin\left(x\right)\]

f beginnt an seinem Hochpunkt, f′ bei null und taucht dann unter die Achse, während der Kosinus fällt.

Zwei weitere Ableitungen ergeben \(-\cos x\) und dann \(\sin x\) – der Kreislauf aus vier Schritten ist vollständig.

cos(x) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\tan\left(x\right)\right]\]

  1. Schreibe \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) und nutze die Quotientenregel.

    \[= \frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x}\]

  2. Der trigonometrische Pythagoras macht den Zähler zu \(1\).

    \[= \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x\]
Ergebnis
\[\sec^{2}\left(x\right)\]

Äste, die zwischen den Polstellen ansteigen, und f′ als Kette U-förmiger Bögen, die dort am tiefsten liegen, wo \(\tan x\) die Achse kreuzt.

Immer mindestens \(1\) – deshalb wird der Tangensgraph nie waagerecht. Gleichwertig ist \(1 + \tan^{2}x\).

tan(x) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[\sec\left(x\right)\right]\]

  1. \(\sec x = \left(\cos x\right)^{-1}\); Kettenregel mit der Potenzregel.

    \[= -\left(\cos x\right)^{-2}\cdot\left(-\sin x\right)\]

  2. In zwei bekannte Faktoren zerlegen.

    \[= \frac{\sin x}{\cos^{2}x} = \sec x\tan x\]
Ergebnis
\[\sec\left(x\right) \tan\left(x\right)\]

f hat U- und ∩-förmige Äste zu beiden Seiten jeder Polstelle, und f′ geht an der Spitze jedes Astes durch null.

Die beiden Minuszeichen heben sich auf – eines aus der Potenzregel, eines aus der Ableitung von \(\cos\).

sec(x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x\right) \cos\left(x\right)\right]\]

  1. Produktregel.

    \[= \cos x\cos x + \sin x\left(-\sin x\right)\]

  2. Zusammenfassen.

    \[= \cos^{2}x - \sin^{2}x = \cos 2x\]
Ergebnis
\[\cos^{2}\left(x\right) - \sin^{2}\left(x\right)\]

f ist eine Sinuskurve mit halber Höhe und doppelter Frequenz, und f′ ist wiederum doppelt so hoch.

Passt zu \(\sin x\cos x = \tfrac{1}{2}\sin 2x\), dessen Ableitung \(\cos 2x\) ist.

sin(x) cos(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Nur \(\cos\), \(\csc\) und \(\cot\) – die Kofunktionen – liefern ein Minuszeichen.
  • \(\sin^{2}x\) bedeutet \(\left(\sin x\right)^{2}\) und braucht die Kettenregel; \(\sin(x^{2})\) ist eine andere Funktion.
  • Diese Ableitungen gelten nur für Winkel im Bogenmaß.
KettenregelAbleitung der ArkusfunktionenAbleitung der Hyperbelfunktionen