Die Variable ändert sich genau so schnell wie sie selbst.
Ist \(f(x) = x\), dann wächst der Funktionswert um genau \(h\), wenn \(x\) um \(h\) wächst. Der Differenzenquotient ist \(\frac{(x + h) - x}{h} = \frac{h}{h} = 1\) für jedes \(h \neq 0\), die Ableitung ist also \(1\).
Das ist der Grundfall des ganzen Verfahrens. Jede andere Regel führt einen komplizierten Ausdruck auf die Ableitungen einfacherer Teile zurück; irgendwo muss diese Rekursion enden – und sie endet hier und bei der Konstantenregel.
Außerdem ist es der Fall \(n = 1\) der Potenzregel: \(\frac{d}{dx}x^{1} = 1 \cdot x^{0} = 1\).
Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.
Der Ausdruck ist die Variable selbst.
f ist die Winkelhalbierende, f′ die Konstante 1. Lies das Paar senkrecht: Die Höhe von f′ an jeder Stelle ist die Steigung von f direkt darüber, und diese Steigung ändert sich nie. Wo du auch hinzeigst, f′ zeigt genau 1.
Die Gerade \(y = x\) steigt pro Einheit nach rechts um eine Einheit – Steigung \(1\).
x im Rechner öffnenHier ist \(t\) die Ableitungsvariable, und der Ausdruck ist \(t\).
Dasselbe Bild, nur mit t statt x auf der Achse. Der Buchstabe ist egal; der Ausdruck stimmt mit der Ableitungsvariablen überein.
Der Buchstabe spielt keine Rolle – nur, ob er zu der Variablen passt, nach der du ableitest.
t im Rechner öffnenDie Summe aufteilen.
Die Variablenregel liefert \(1\), die Konstantenregel \(0\).
Die Winkelhalbierende, so angehoben, dass sie die Achse bei \(x = -5\) schneidet – f′ bleibt bei 1, die beiden Geraden sind überall parallel.
Eine addierte Konstante verschiebt den Graphen nach oben oder unten, ohne ihn zu kippen – die Steigung bleibt gleich.
x + 5 im Rechner öffnenDen konstanten Faktor herausziehen.
Dann die Variablenregel.
Die fünffache Steigung, und f′ antwortet mit der Konstanten 5. Ihre Höhe hat sich geändert, ihre Form nicht.
Die \(1\) ist die Quelle des Ergebnisses, auch wenn sie in der fertigen \(5\) unsichtbar ist.
5x im Rechner öffnenProduktregel mit \(f = x\) und \(g = \sin x\).
Die Variablenregel liefert die erste Ableitung, die Ableitung der Winkelfunktion die zweite.
Hier ist die Variablenregel nur ein Faktor in einem Produkt: f schwingt mit wachsendem Ausschlag, und f′ wird an jedem Hoch- und Tiefpunkt null.
In echten Aufgaben taucht die Variablenregel fast immer als Faktor \(1\) innerhalb einer größeren Regel auf.
x sin(x) im Rechner öffnen