Ableitungsrechner

Umschreiben in natürliche Logarithmen

Enthält die Basis eines Logarithmus die Variable, wechselst du zur Basis \(e\) und nimmst die Quotientenregel.

\[\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a}\]

Was die Regel besagt

Die Regel zur Basis \(a\) setzt eine feste Zahl als Basis voraus. Bewegt sich die Basis mit \(x\) – wie in \(\log_{x}2\) –, gilt diese Voraussetzung nicht mehr, und es gibt keine eigene Regel, die man lernen müsste.

Stattdessen verwandelst du den Ausdruck mit dem Basiswechsel in einen Quotienten natürlicher Logarithmen. Zähler und Nenner sind dann gewöhnliche Funktionen von \(x\), und die Quotientenregel erledigt den Rest.

Das ist ein Umformungsschritt, keine Ableitungsregel. Deshalb führt der Rechner ihn als eigene Zeile im Rechenweg: Er markiert den Moment, in dem der Ausdruck seine Form ändert.

Wann sie gilt

  • Die Basis eines Logarithmus enthält die Ableitungsvariable.
  • Ausdrücke wie \(\log_{x}2\) oder \(\log_{x}(x + 1)\).
  • Immer dann, wenn sich mit der Basis \(e\) leichter rechnen lässt.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[\log_{x}\left(2\right)\right]\]

  1. Basiswechsel.

    \[\log_{x}2 = \frac{\ln 2}{\ln x}\]

  2. \(\ln 2\) ist eine Konstante; \(\left(\ln x\right)^{-1}\) mit der Kettenregel ableiten.

    \[= \ln 2 \cdot \left(-\frac{1}{\left(\ln x\right)^{2}}\right)\cdot\frac{1}{x}\]

  3. Zusammenfassen.

    \[= -\frac{\ln 2}{x\left(\ln x\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[-\frac{\ln\left(2\right)}{x \ln^{2}\left(x\right)}\]

Die Polstelle bei \(x = 1\) teilt den Graphen in zwei Äste, die beide fallen. Rechts sinkt die Kurve von oben gegen null; links nähert sie sich null von unten, und f′ stürzt auf beiden Seiten der Polstelle steil ab.

Negativ für \(x > 1\): Wächst die Basis, fällt \(\log_{x}2\).

log(x,2) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\log_{x}\left(e\right)\right]\]

  1. Basiswechsel, und \(\ln e = 1\).

    \[\log_{x}e = \frac{1}{\ln x}\]

  2. Kettenregel auf \(\left(\ln x\right)^{-1}\).

    \[= -\frac{1}{x\left(\ln x\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[-\frac{1}{x \ln^{2}\left(x\right)}\]

Zwei fallende Äste links und rechts der Polstelle bei \(x = 1\), mit f′ überall negativ, wo die Funktion existiert.

Dieselbe Form wie im vorigen Beispiel, nur ohne den Faktor \(\ln 2\).

log(x,e) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\log_{2 x}\left(3\right)\right]\]

  1. Basiswechsel.

    \[\log_{2x}3 = \frac{\ln 3}{\ln 2x}\]

  2. Kettenregel, mit \(\frac{d}{dx}\ln 2x = \frac{1}{x}\).

    \[= -\frac{\ln 3}{\left(\ln 2x\right)^{2}}\cdot\frac{1}{x}\]

  3. Zusammenfassen.

    \[= -\frac{\ln 3}{x\left(\ln 2x\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[-\frac{\ln\left(3\right)}{x \ln^{2}\left(2 x\right)}\]

Die Polstelle ist nach \(x = \tfrac{1}{2}\) gewandert, wo \(\ln 2x\) null ist; ansonsten ist das Bild unverändert.

Die Konstante in der Basis trägt nichts zusätzlich bei – genau wie bei \(\ln\).

log(2x,3) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[\log_{x}\left(x + 1\right)\right]\]

  1. Jetzt enthalten Zähler und Nenner \(x\).

    \[\log_{x}\left(x + 1\right) = \frac{\ln\left(x + 1\right)}{\ln x}\]

  2. Quotientenregel.

    \[= \frac{\frac{1}{x+1}\ln x - \ln\left(x + 1\right)\cdot\frac{1}{x}}{\left(\ln x\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{\frac{\ln\left(x\right)}{x + 1} - \frac{\ln\left(x + 1\right)}{x}}{\ln^{2}\left(x\right)}\]

Hier enthalten beide Teile ein x, also braucht es die Quotientenregel. f nähert sich für große x dem Wert 1, weil die beiden Logarithmen zusammenlaufen.

Das ist der Fall, der die Umformung wirklich braucht – keine der beiden Logarithmusregeln kommt direkt heran.

log(x,x+1) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\log_{x}\left(\sin\left(x\right)\right)\right]\]

  1. Basiswechsel.

    \[= \frac{\ln \sin x}{\ln x}\]

  2. Quotientenregel, mit \(\frac{d}{dx}\ln\sin x = \cot x\).

    \[= \frac{\cot x\,\ln x - \frac{\ln \sin x}{x}}{\left(\ln x\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{\frac{\cos\left(x\right) \ln\left(x\right)}{\sin\left(x\right)} - \frac{\ln\left(\sin\left(x\right)\right)}{x}}{\ln^{2}\left(x\right)}\]

Der Graph erscheint in Bruchstücken, eines für jedes Intervall, auf dem der Sinus positiv ist.

Nur definiert, wo \(\sin x > 0\) und \(x > 0\), \(x \neq 1\).

log(x,sin(x)) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Eine variable Basis nicht als konstant behandeln – \(\frac{1}{x\ln a}\) ist falsch, wenn \(a\) ein \(x\) enthält.
  • Nach dem Umschreiben ist der Nenner \(\ln x\) eine Funktion; du brauchst also die Quotientenregel, nicht die Faktorregel.
  • \(\left(\ln x\right)^{2}\) im Nenner ist das Quadrat des Logarithmus, nicht \(\ln\left(x^{2}\right)\).
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