Ableitung der Areafunktionen arsinh, arcosh, artanh

Was die Regel besagt

Die Herleitung ist dasselbe Umkehrfunktions-Argument. Für $y = \operatorname{arsinh} x$ liefert $\sinh y = x$ die Gleichung $\cosh y\cdot y' = 1$, und wegen $\cosh y = \sqrt{1 + \sinh^{2}y} = \sqrt{1 + x^{2}}$ ist die Ableitung $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$.

Die Tabelle: $\left(\operatorname{arsinh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$, $\left(\operatorname{arcosh} x\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ für $x > 1$, $\left(\operatorname{artanh} x\right)' = \frac{1}{1 - x^{2}}$ für $\left|x\right| < 1$.

Vergleiche mit den Arkusfunktionen: Aus $1 - x^{2}$ wird $x^{2} \pm 1$, aus $1 + x^{2}$ wird $1 - x^{2}$. Jeder Unterschied ist ein Vorzeichen.

Wann sie gilt

$\operatorname{arsinh}$, $\operatorname{arcosh}$, $\operatorname{artanh}$, hier als $\texttt{asinh}$, $\texttt{acosh}$, $\texttt{atanh}$ oder $\texttt{arsinh}$ usw. eingegeben.
Integrale von $\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm 1}}$, rückwärts gelesen.
Zusammen mit der Kettenregel bei zusammengesetztem Argument.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arsinh}\left(x\right)\right]

Aus $\sinh y = x$.
$\cosh y\cdot y' = 1$
$\cosh y = \sqrt{1 + x^{2}}$ einsetzen.
$y' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Ergebnis

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

f ist ein sanftes S durch den Ursprung, das wie ein Logarithmus weiterwächst, statt sich einzupendeln. f′ ist ein Hügel der Höhe 1, der in beide Richtungen abklingt, aber nie ganz null erreicht.

Für jedes reelle $x$ definiert, denn $x^{2} + 1$ wird nie null.

asinh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arcosh}\left(x\right)\right]

Aus $\cosh y = x$, mit $\sinh y = \sqrt{x^{2} - 1}$.
$y' = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Ergebnis

\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

Die Kurve beginnt bei $x = 1$ mit einer senkrechten Tangente, deshalb wächst f′ dort über alle Grenzen, bevor es abklingt.

Nur für $x > 1$ – darunter existiert die Umkehrfunktion nicht.

acosh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[\operatorname{artanh}\left(x\right)\right]

Aus $\tanh y = x$, mit $\operatorname{sech}^{2}y = 1 - x^{2}$.
$y' = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Ergebnis

\frac{1}{1 - x^{2}}

Auf $(-1, 1)$ beschränkt. f läuft an beiden Enden gegen $\pm\infty$, und f′ wächst mit, sein kleinster Wert ist 1.

Vergleiche $\left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1 + x^{2}}$: derselbe Ausdruck mit umgekehrtem Vorzeichen.

atanh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[\operatorname{artanh}\left(2 x\right)\right]

Kettenregel mit $u = 2x$.
$= \frac{1}{1 - \left(2x\right)^{2}}\cdot 2$
Das Innere quadrieren.
$= \frac{2}{1 - 4x^{2}}$

Ergebnis

\frac{2}{1 - 4 x^{2}}

Das Fenster ist kaum eine halbe Einheit breit, und f′ ist eine steilwandige Mulde mit dem Boden bei 2 über dem Ursprung.

Gültig für $\left|x\right| < \tfrac{1}{2}$, wo das Argument in $(-1, 1)$ bleibt.

atanh(2x) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[x \operatorname{arsinh}\left(x\right)\right]

Produktregel.
$= 1\cdot\operatorname{arsinh} x + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Ergebnis

\operatorname{arsinh}\left(x\right) + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}

Ein flaches Tal, dessen Boden der Ursprung ist, wo f′ das Vorzeichen wechselt.

Das Paar hinter $\int \operatorname{arsinh} x\,dx = x\operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^{2} + 1}$.

x asinh(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

Die Vorzeichen unter den Wurzeln unterscheiden sich zwischen $\operatorname{arsinh}$ $\left(x^{2} + 1\right)$ und $\operatorname{arcosh}$ $\left(x^{2} - 1\right)$.
$\operatorname{arcosh}$ braucht $x > 1$ und $\operatorname{artanh}$ braucht $\left|x\right| < 1$; außerhalb dieser Bereiche ist die Ableitung sinnlos.
Anders als $\arccos$ hat $\operatorname{arcosh}$ eine positive Ableitung.

Ableitung der Hyperbelfunktionen Ableitung der Arkusfunktionen Kettenregel

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Typische Fehler

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