Ableitungsrechner

Produktregel

Jeden Faktor einmal ableiten und den anderen dabei stehen lassen.

\[\left(fg\right)' = f'g + fg'\]

Was die Regel besagt

Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Stell dir ein Rechteck mit den Seiten \(f\) und \(g\) vor: Wächst \(f\) um ein kleines Stück, kommt ein Streifen mit der Fläche \(f'g\) hinzu, wächst \(g\), ein Streifen \(fg'\). Die winzige Ecke, in der beide wachsen, fällt im Grenzwert weg. Die beiden Streifen sind die beiden Summanden.

Die Regel ist symmetrisch, es ist also egal, welchen Faktor du \(f\) nennst. Bei drei oder mehr Faktoren leitest du einen nach dem anderen ab: \(\left(fgh\right)' = f'gh + fg'h + fgh'\) – ein Summand pro Faktor.

Prüfe vorher, ob ein Faktor konstant ist. Dann ist die Faktorregel kürzer und liefert einen Summanden statt zwei.

Wann sie gilt

  • Zwei oder mehr Ausdrücke, die jeweils die Variable enthalten, werden multipliziert.
  • Ein Polynom mal eine transzendente Funktion, etwa \(x^{2}e^{x}\).
  • Nicht nötig, wenn ein Faktor konstant ist oder Ausmultiplizieren einfacher ist.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[x^{2} \sin\left(x\right)\right]\]

  1. Wähle \(f = x^{2}\) und \(g = \sin x\).

    \[\frac{d}{dx}\left[x^{2}\sin x\right] = \frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]\sin x + x^{2}\,\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]\]

  2. Potenzregel und Ableitung der Sinusfunktion.

    \[= 2x\sin x + x^{2}\cos x\]
Ergebnis
\[2 x \sin\left(x\right) + x^{2} \cos\left(x\right)\]

Eine Schwingung, deren Ausschlag wie \(x^{2}\) wächst, und f′ schwingt noch weiter aus und ist an jedem Hoch- und Tiefpunkt von f null. Beide Summanden der Regel sind in der Form zu sehen: \(2x\sin x\) öffnet die Hüllkurve, \(x^{2}\cos x\) hält die Welle im Takt.

In jedem Summanden bleibt ein Faktor unverändert. Das ist das Kennzeichen der Produktregel.

x^2 sin(x) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[x e^{x}\right]\]

  1. Mit \(f = x\) und \(g = e^{x}\).

    \[= 1 \cdot e^{x} + x \cdot e^{x}\]

  2. Ausklammern, wenn du es aufgeräumt magst.

    \[= e^{x}\left(1 + x\right)\]
Ergebnis
\[e^{x} + x e^{x}\]

f taucht bei \(x = -1\) zu einem Tiefpunkt ab und steigt danach steil an; f′ ist dort genau null und links davon negativ.

Weil \(e^{x}\) seine eigene Ableitung ist, tragen am Ende beide Summanden diesen Faktor.

x e^x im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\left(x + 1\right) \left(x - 3\right)\right]\]

  1. Produktregel mit \(f = x + 1\) und \(g = x - 3\).

    \[= 1 \cdot \left(x - 3\right) + \left(x + 1\right)\cdot 1\]

  2. Zusammenfassen.

    \[= 2x - 2\]
Ergebnis
\[2 x - 2\]

Eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen \(-1\) und \(3\) und der Geraden \(2x - 2\) als Ableitung, die am Scheitelpunkt null wird.

Ausmultipliziert ergibt sich \(x^{2} - 2x - 3\) mit der Ableitung ebenfalls \(2x - 2\). Bei Polynomen ist Ausmultiplizieren meist schneller.

(x+1)(x-3) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x} \ln\left(x\right)\right]\]

  1. Wähle \(f = \sqrt{x}\), \(g = \ln x\).

    \[= \frac{1}{2\sqrt{x}}\ln x + \sqrt{x}\cdot\frac{1}{x}\]

  2. Den zweiten Summanden mit \(\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\) vereinfachen.

    \[= \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\]
Ergebnis
\[\frac{\ln\left(x\right)}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\]

Nur für \(x > 0\). f sinkt knapp rechts vom Ursprung in eine flache Mulde, wo f′ durch null geht, und steigt dann gleichmäßig an.

Beide Faktoren brauchen ihre eigene Regel – die Potenzregel für die Wurzel, die Logarithmusregel für \(\ln\).

sqrt(x) ln(x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[x^{2} e^{x} \sin\left(x\right)\right]\]

  1. Drei Faktoren, also drei Summanden: einen nach dem anderen ableiten.

    \[= \frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]e^{x}\sin x + x^{2}\frac{d}{dx}\left[e^{x}\right]\sin x + x^{2}e^{x}\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]\]

  2. Jede Ableitung einsetzen.

    \[= 2xe^{x}\sin x + x^{2}e^{x}\sin x + x^{2}e^{x}\cos x\]
Ergebnis
\[2 x e^{x} \sin\left(x\right) + x^{2} e^{x} \sin\left(x\right) + x^{2} e^{x} \cos\left(x\right)\]

Drei Faktoren ergeben eine schnell wachsende Schwingung, und f′ kehrt überall dort um, wo f einen Hochpunkt erreicht.

Der Rechner kommt über zwei verschachtelte Produktregeln zum selben Ziel; „ein Summand pro Faktor“ ist die Abkürzung.

x^2 e^x sin(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • \(\left(fg\right)' \neq f'g'\). Der häufigste Fehler überhaupt beim Einstieg ins Ableiten.
  • Nie beide Faktoren im selben Summanden ableiten – jeder Summand lässt einen Faktor in Ruhe.
  • Ist ein Faktor konstant, nimm die Faktorregel; die Produktregel würde nur einen Summanden hinzufügen, der null ist.
QuotientenregelKettenregelFaktorregel