Ableitung der Betragsfunktion |x|

Was die Regel besagt

$\left|x\right|$ ist $x$ für positive $x$ und $-x$ für negative $x$. Die Steigung ist also rechts $+1$ und links $-1$ – genau die Signumfunktion $\operatorname{sgn} x$.

Bei $x = 0$ gibt es überhaupt keine Ableitung. Von rechts kommend ist der Differenzenquotient $+1$, von links $-1$; die einseitigen Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Der Graph hat dort einen Knick, keine Tangente.

Bei zusammengesetztem Argument gilt wie üblich die Kettenregel: $\frac{d}{dx}\left|u\right| = \operatorname{sgn}(u)\,u'$, gültig überall dort, wo $u \neq 0$.

Wann sie gilt

$\left|x\right|$ oder $\texttt{abs(x)}$, allein oder in einem größeren Ausdruck.
Überall, wo das Argument ungleich null ist – an den Nullstellen des Arguments ist das Ergebnis nicht definiert.
Deckt auch $\sqrt{x^{2}}$ ab, denn das ist $\left|x\right|$ und nicht $x$.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[\left|x\right|\right]

Nach Vorzeichen aufteilen: Der Graph ist erst $-x$, dann $x$.
$\left|x\right| = \begin{cases} x & x > 0 \\ -x & x < 0\end{cases}$
Jedes Stück ist eine Gerade mit Steigung $+1$ oder $-1$.
$\frac{d}{dx}\left|x\right| = \operatorname{sgn} x$

Ergebnis

\operatorname{sgn}\left(x\right)

Das V und seine Stufe. f′ springt im Ursprung von $-1$ auf $+1$, ohne einen Wert dazwischen – und genau diese Lücke ist der Punkt: Ein Knick hat keine Tangente. Fahre knapp links und rechts daran vorbei, und die Anzeige wechselt das Vorzeichen, ohne einen Zwischenwert zu durchlaufen.

Bei $x = 0$ nicht definiert – dort treffen die beiden Steigungen in einem Knick aufeinander.

abs(x) im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[\left|x - 3\right|\right]

Kettenregel mit $u = x - 3$ und $u' = 1$.
$= \operatorname{sgn}\left(x - 3\right)\cdot 1$

Ergebnis

\operatorname{sgn}\left(x - 3\right)

Dasselbe Paar, verschoben nach $x = 3$, wo die Stufe in f′ den Knick in f markiert.

Der Knick ist nach $x = 3$ gewandert; dort springt die Ableitung von $-1$ auf $+1$.

abs(x-3) im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[x \left|x\right|\right]

Produktregel.
$= 1\cdot\left|x\right| + x\operatorname{sgn} x$
Da $x\operatorname{sgn} x = \left|x\right|$, ist das $2\left|x\right|$.
$= 2\left|x\right|$

Ergebnis

\left|x\right| + x \operatorname{sgn}\left(x\right)

Hier gibt es keinen Knick – der Faktor x hat ihn ausgebügelt, und f′ ist das V $2\left|x\right|$, das die Null im Ursprung glatt berührt.

Ungewöhnlich: Diese Funktion ist bei $0$ differenzierbar. Das Produkt glättet den Knick, und die Ableitung ist dort $0$.

x abs(x) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[\left|x^{2} - 1\right|\right]

Kettenregel mit $u = x^{2} - 1$.
$= \operatorname{sgn}\left(x^{2} - 1\right)\cdot 2x$

Ergebnis

2 x \operatorname{sgn}\left(x^{2} - 1\right)

Eine Parabel, deren Mittelstück nach oben zu einem Bogen umgeklappt ist, mit Sprüngen in f′ an beiden Faltstellen.

Zwei Knicke, bei $x = \pm 1$, wo die Parabel die Achse schneidet.

abs(x^2-1) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[\left|\sin\left(x\right)\right|\right]

Kettenregel mit $u = \sin x$.
$= \operatorname{sgn}\left(\sin x\right)\cos x$

Ergebnis

\cos\left(x\right) \operatorname{sgn}\left(\sin\left(x\right)\right)

Eine Reihe gleicher Bögen, die auf der Achse stehen, mit einem Vorzeichensprung in f′ am Fuß jedes Bogens.

Ein Knick bei jedem Vielfachen von $\pi$ – die gleichgerichtete Sinuswelle.

abs(sin(x)) im Rechner öffnen

Typische Fehler

An den Nullstellen des Arguments gibt es keine Ableitung, nur links und rechts davon.
$\sqrt{x^{2}} = \left|x\right|$, nicht $x$; die Ableitung ist also $\operatorname{sgn} x$.
$\operatorname{sgn}$ selbst hat abseits des Ursprungs die Ableitung $0$ – sie ist stückweise konstant, nicht linear.

Kettenregel Produktregel Konstantenregel

Was die Regel besagt

Wann sie gilt

Fünf durchgerechnete Beispiele

Typische Fehler

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