Ableitung der e-Funktion und von aˣ

Was die Regel besagt

Exponentialfunktionen sind genau die Funktionen, deren Änderungsrate proportional zu ihrem aktuellen Wert ist – Populationen, Zinseszins, radioaktiver Zerfall. Leitest du $a^{x}$ ab, bekommst du wieder $a^{x}$, multipliziert mit einer festen Zahl.

Diese Zahl ist $\ln a$. Sie stammt aus dem Grenzwert $\lim_{h \to 0}\frac{a^{h} - 1}{h} = \ln a$ und macht die Basis $e$ so besonders: $\ln e = 1$, also gilt exakt $\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}$. $e$ ist genau die Basis, für die dieser Faktor eins ist.

Jede andere Basis lässt sich auf Wunsch über $e$ umleiten: $a^{x} = e^{x\ln a}$, und die Kettenregel liefert dann $e^{x\ln a}\ln a = a^{x}\ln a$.

Wann sie gilt

Die Basis ist konstant, und die Variable steht im Exponenten.
$e^{x}$ und $\exp(x)$, der Spezialfall mit dem zusätzlichen Faktor $1$.
Zusammen mit der Kettenregel, wenn der Exponent eine Funktion ist: $\left(a^{u}\right)' = a^{u}\ln a \cdot u'$.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[e^{x}\right]

Hier ist $a = e$ und $\ln e = 1$.
$\frac{d}{dx}\left[e^{x}\right] = e^{x}\ln e$
Der zusätzliche Faktor ist $1$.
$= e^{x}$

Ergebnis

e^{x}

Die beiden Kurven liegen exakt übereinander. So sieht „ihre eigene Ableitung“ aus: In jeder Höhe ist die Steigung gleich der Höhe. Fahre irgendwo darüber, und die Anzeigen für f und f′ stimmen bis auf die letzte Stelle überein.

Die einzige Funktion (bis auf einen konstanten Faktor), die ihre eigene Ableitung ist.

e^x im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[2^{x}\right]

Basis $2$, der Faktor ist also $\ln 2$.
$= 2^{x}\ln 2$

Ergebnis

2^{x} \ln\left(2\right)

f′ hat dieselbe Form wie f, liegt aber darunter, kleiner um den Faktor $\ln 2 \approx 0{,}693$ – die Kurven schneiden sich nie.

$\ln 2 \approx 0{,}693$, $2^{x}$ wächst also etwas langsamer, als seine eigene Höhe vermuten ließe.

2^x im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[3^{2 x}\right]

Außen die Exponentialregel, für den Exponenten $u = 2x$ die Kettenregel.
$= 3^{2x}\ln 3 \cdot \frac{d}{dx}\left[2x\right]$
Die innere Ableitung ist $2$.
$= 2\ln(3)\,3^{2x}$

Ergebnis

2 \ln\left(3\right) 3^{2 x}

Beide Kurven verlassen das Fenster nach oben schon wenige Einheiten neben dem Ursprung, deshalb ist der Ausschnitt so eng gewählt.

Zwei Konstanten tauchen auf: $\ln 3$ von der Basis, $2$ aus der Kettenregel.

3^(2x) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[e^{-x}\right]

Außen $e^{u}$, innen $u = -x$.
$= e^{-x}\cdot\frac{d}{dx}\left[-x\right]$
Die innere Ableitung ist $-1$.
$= -e^{-x}$

Ergebnis

-e^{-x}

f klingt zur Achse hin ab, während f′ als Spiegelbild darunter liegt: Die Höhe der Kurve ist genau die Rate, mit der sie fällt.

Exponentieller Zerfall: immer positiv, immer fallend.

e^(-x) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[5 e^{3 x}\right]

Die $5$ herausziehen, dann Kettenregel mit $u = 3x$.
$= 5e^{3x}\cdot 3$
Die Konstanten multiplizieren.
$= 15e^{3x}$

Ergebnis

15 e^{3 x}

f′ ist an jeder Stelle dreimal so groß wie f – vergleiche die Anzeigen. Dieses konstante Verhältnis ist die Wachstumsrate $k = 3$.

Die allgemeine Form $Ae^{kx}$ hat die Ableitung $kAe^{kx}$ – die Lösung jeder einfachen Wachstumsgleichung.

5 e^(3x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

Hier nicht die Potenzregel nehmen. $2^{x}$ hat eine konstante Basis, also ist $\frac{d}{dx}2^{x} \neq x2^{x-1}$.
Bei anderen Basen als $e$ geht der Faktor $\ln a$ leicht verloren.
Steht die Variable in Basis und Exponent, passt weder diese Regel noch die Potenzregel – dann hilft logarithmisches Differenzieren.

Logarithmisches Differenzieren Kettenregel Potenzregel

Was die Regel besagt

Wann sie gilt

Fünf durchgerechnete Beispiele

Typische Fehler

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