Ableitungsrechner

Summenregel

Summand für Summand ableiten und die Ergebnisse wieder addieren.

\[\left(f + g\right)' = f' + g'\]

Was die Regel besagt

Das Ableiten verteilt sich auf eine Summe: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Das folgt direkt aus der Definition, denn der Grenzwert einer Summe ist die Summe der Grenzwerte.

Differenzen sind ebenfalls abgedeckt, denn \(f - g\) ist \(f + (-1)g\), und um die \(-1\) kümmert sich die Faktorregel. Die Regel gilt für beliebig viele Summanden mit beliebigen Vorzeichen.

In der Praxis ist sie die erste Regel für jeden langen Ausdruck: in Summanden zerlegen, jeden mit der passenden Regel ableiten, wieder zusammensetzen. Deshalb lässt sich ein Polynom mit fünfzehn Gliedern ohne einen einzigen schwierigen Schritt ableiten.

Wann sie gilt

  • Ein \(+\) oder \(-\) verbindet Summanden auf der obersten Ebene des Ausdrucks.
  • Jedes Polynom und jede Summe unabhängiger Funktionen wie \(e^{x} + \ln x\).
  • Vor jeder anderen Regel – erst zerlegen, dann pro Summand eine Regel wählen.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[x^{2} + x\right]\]

  1. In die zwei Summanden zerlegen.

    \[\frac{d}{dx}\left[x^{2} + x\right] = \frac{d}{dx}\left[x^{2}\right] + \frac{d}{dx}\left[x\right]\]

  2. Potenzregel für den ersten, Variablenregel für den zweiten Summanden.

    \[= 2x + 1\]
Ergebnis
\[2 x + 1\]

f ist eine Parabel und f′ die Gerade \(2x + 1\). Die Gerade schneidet die Achse bei \(x = -\tfrac{1}{2}\), genau unter dem Scheitelpunkt der Parabel. Links davon ist sie negativ, rechts positiv: f fällt erst und steigt dann.

Zwei verschiedene Regeln, eine pro Summand – genau dafür zerlegt man zuerst.

x^2 + x im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[x^{3} - 4 x^{2} + 7 x - 9\right]\]

  1. Vier Summanden, vier Ableitungen.

    \[= \frac{d}{dx}\left[x^{3}\right] - \frac{d}{dx}\left[4x^{2}\right] + \frac{d}{dx}\left[7x\right] - \frac{d}{dx}\left[9\right]\]

  2. Potenzregel mit mitgeführten Vorfaktoren; der konstante Summand fällt weg.

    \[= 3x^{2} - 8x + 7 - 0\]
Ergebnis
\[3 x^{2} - 8 x + 7\]

Eine kubische Funktion mit einer Parabel als Ableitung. Die Parabel berührt die Achse nie, f′ bleibt also positiv, und f steigt, ohne je umzukehren.

Jede Polynomableitung sieht so aus: außen die Summenregel, innen Potenz- und Faktorregel.

x^3 - 4x^2 + 7x - 9 im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x\right) + \cos\left(x\right)\right]\]

  1. Die Summe aufteilen.

    \[= \frac{d}{dx}\left[\sin x\right] + \frac{d}{dx}\left[\cos x\right]\]

  2. Die beiden Ableitungen der Winkelfunktionen – mit dem Minuszeichen, das \(\cos\) mitbringt.

    \[= \cos x + \left(-\sin x\right)\]
Ergebnis
\[\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\]

Zwei gleich hohe Wellen, um eine Vierteldrehung versetzt: f′ hat dort ein Maximum, wo f die Mittellinie kreuzt, und ist an jedem Hochpunkt von f null.

Das Minuszeichen stammt aus der Ableitung von \(\cos\), nicht aus der Summenregel.

sin(x) + cos(x) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[e^{x} + \ln\left(x\right)\right]\]

  1. Aufteilen.

    \[= \frac{d}{dx}\left[e^{x}\right] + \frac{d}{dx}\left[\ln x\right]\]

  2. Ableitung der e-Funktion und des Logarithmus.

    \[= e^{x} + \frac{1}{x}\]
Ergebnis
\[e^{x} + \frac{1}{x}\]

Nahe dem Ursprung dominiert der Logarithmus, und f′ ist riesig; weiter rechts übernimmt die e-Funktion, und beide Kurven schwingen sich gemeinsam nach oben.

Die Summanden müssen nichts miteinander zu tun haben – jeder wird für sich abgeleitet.

e^x + ln(x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\sqrt{x} + \frac{1}{x}\right]\]

  1. Beide Summanden als Potenzen schreiben, damit die Potenzregel greift.

    \[\sqrt{x} + \frac{1}{x} = x^{1/2} + x^{-1}\]

  2. Jeden ableiten.

    \[= \tfrac{1}{2}x^{-1/2} + \left(-1\right)x^{-2}\]

  3. Zurück zu Wurzel- und Bruchschreibweise.

    \[= \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{x^{2}}\]

Nur für \(x > 0\). f fällt steil ab, erreicht bei etwa \(x = 1{,}59\) den Tiefpunkt, wo f′ die Achse kreuzt, und steigt dann langsam an.

Umschreiben vor dem Zerlegen spart oft Arbeit; hier werden aus zwei unhandlichen Summanden zwei Anwendungen der Potenzregel.

sqrt(x) + 1/x im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Für Produkte gibt es kein Gegenstück: \(\left(fg\right)' \neq f'g'\). Dafür brauchst du die Produktregel.
  • Ein konstanter Summand trägt \(0\) bei, nicht die Konstante selbst.
  • \(\frac{f + g}{h}\) lässt sich in \(\frac{f}{h} + \frac{g}{h}\) zerlegen, \(\frac{f}{g + h}\) dagegen überhaupt nicht.
FaktorregelPotenzregelProduktregel