Ableitungsrechner

Kettenregel

Äußere Ableitung mal innere Ableitung: die äußere Funktion ableiten, das Innere unverändert lassen und mit der Ableitung des Inneren multiplizieren.

\[\left(f \circ g\right)' = f'(g)\,g'\]

Was die Regel besagt

Wird eine Funktion auf eine andere angewendet, multiplizieren sich die Änderungsraten. Ändert sich \(y\) dreimal so schnell wie \(u\) und \(u\) doppelt so schnell wie \(x\), dann ändert sich \(y\) sechsmal so schnell wie \(x\). In der Leibniz-Schreibweise ist die Aussage fast selbsterklärend: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\).

Das praktische Vorgehen: äußere und innere Funktion erkennen, die äußere ableiten und dabei das innere Argument genau so lassen, wie es ist, dann mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren. Der Faktor \(g'\), die innere Ableitung, wird am häufigsten vergessen.

Ketten lassen sich beliebig tief verschachteln. Bei \(\sin\!\left(\sqrt{x^{2}+1}\right)\) schälst du Schicht für Schicht ab und multiplizierst bei jedem Schritt einen neuen Faktor dazu.

Wann sie gilt

  • Eine Funktion wird auf etwas Komplizierteres als die bloße Variable angewendet.
  • Jede Verkettung: \(\sin(3x)\), \(e^{x^{2}}\), \(\ln(1 + x^{2})\), \((2x + 1)^{5}\).
  • Immer dann, wenn der innere Ausdruck selbst eine Regel zum Ableiten bräuchte.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[\sin\left(3 x\right)\right]\]

  1. Außen \(\sin\), innen \(u = 3x\). Die äußere Funktion ableiten und \(3x\) drinlassen.

    \[= \cos\left(3x\right)\cdot\frac{d}{dx}\left[3x\right]\]

  2. Die innere Ableitung ist \(3\).

    \[= 3\cos\left(3x\right)\]
Ergebnis
\[3 \cos\left(3 x\right)\]

Drei volle Schwingungen von f auf der Strecke, die \(\sin x\) für eine braucht, und eine Ableitung, die bis \(\pm 3\) statt \(\pm 1\) reicht. Die beiden Kurven bleiben die ganze Zeit um ein Viertel der gestauchten Periode versetzt.

Ohne den Faktor \(3\) wäre das Ergebnis um den Faktor drei falsch – der klassische Kettenregel-Fehler.

sin(3x) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\left(2 x + 1\right)^{5}\right]\]

  1. Außen die fünfte Potenz, innen \(2x + 1\).

    \[= 5\left(2x + 1\right)^{4}\cdot\frac{d}{dx}\left[2x + 1\right]\]

  2. Die innere Ableitung ist \(2\).

    \[= 10\left(2x + 1\right)^{4}\]
Ergebnis
\[10 \cdot \left(2 x + 1\right)^{4}\]

Eine steile Kurve um \(x = -\tfrac{1}{2}\), wo f und f′ gemeinsam die Null berühren – das Verhalten von \(x^{5}\) im Ursprung, verschoben und gestaucht.

Die fünfte Potenz vorher auszumultiplizieren ginge auch, wäre aber viel mehr Arbeit.

(2x+1)^5 im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[e^{x^{2}}\right]\]

  1. Außen \(e^{u}\), das seine eigene Ableitung ist; innen \(u = x^{2}\).

    \[= e^{x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\left[x^{2}\right]\]

  2. Innere Ableitung \(2x\).

    \[= 2xe^{x^{2}}\]
Ergebnis
\[2 x e^{x^{2}}\]

Eine schnell ansteigende Schale, im Ursprung waagerecht, mit f′ links negativ und rechts positiv.

Achtung: \(e^{x^{2}}\), nicht \(e^{2x}\) – der Exponent bleibt beim Ableiten unverändert.

e^(x^2) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[\ln\left(1 + x^{2}\right)\right]\]

  1. Außen \(\ln u\) mit der Ableitung \(\frac{1}{u}\); innen \(1 + x^{2}\).

    \[= \frac{1}{1 + x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\left[1 + x^{2}\right]\]

  2. Innere Ableitung \(2x\).

    \[= \frac{2x}{1 + x^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{2 x}{1 + x^{2}}\]

Für jedes reelle x definiert, weil \(1 + x^{2}\) nie null wird. f ist eine symmetrische Mulde, und f′ hat seine Extremwerte bei \(x = \pm 1\).

Beim Logarithmus lautet das Muster immer \(\frac{u'}{u}\) – Ableitung des Inneren durch das Innere.

ln(1+x^2) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\sqrt{\sin\left(x\right)}\right]\]

  1. Als Potenz schreiben: außen \(u^{1/2}\), innen \(\sin x\).

    \[= \tfrac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]\]

  2. Innere Ableitung \(\cos x\).

    \[= \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\]
Ergebnis
\[\frac{\cos\left(x\right)}{2 \sqrt{\sin\left(x\right)}}\]

Nur dort definiert, wo \(\sin x \geq 0\), die Kurve erscheint also in Bögen, und f′ wächst an beiden Enden jedes Bogens über alle Grenzen.

Zwei Regeln übereinander: außen die Potenzregel, innen die Ableitung des Sinus, verbunden durch die Kettenregel.

sqrt(sin(x)) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Die innere Ableitung \(g'\) ganz vergessen – der häufigste Fehler beim Ableiten überhaupt.
  • Das Innere verändern, während man außen ableitet: Die Ableitung von \(\sin(3x)\) beginnt mit \(\cos(3x)\), niemals mit \(\cos x\).
  • Bei verschachtelten Verkettungen liefert jede Schicht einen Faktor; wer nach einer Schicht aufhört, hat ein unvollständiges Ergebnis.
PotenzregelAbleitung der WinkelfunktionenAbleitung der Exponentialfunktion