Ableitung von logₐ x – Logarithmus zur Basis a

Was die Regel besagt

Mit dem Basiswechsel $\log_{a}x = \frac{\ln x}{\ln a}$ wird jeder Logarithmus zu einem konstanten Vielfachen von $\ln x$. Weil $\ln a$ nur eine Zahl ist, erledigt die Faktorregel den Rest: $\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}$.

Der einzige Unterschied zum natürlichen Logarithmus ist also ein fester Teiler. Für die Basis $e$ verschwindet er, weil $\ln e = 1$; für die Basis $10$ ist er $\ln 10 \approx 2{,}3026$ – deshalb flacht der Graph von $\lg x$ so viel schneller ab.

In diesem Rechner bedeutet $\log(a, x)$ den Logarithmus $\log_{a}x$; für $\log_{2}$ und $\log_{10}$ gibt es die Kurzformen $\texttt{log2}$ und $\texttt{lg}$ bzw. $\texttt{log10}$.

Wann sie gilt

Ein Logarithmus, dessen Basis eine Konstante ungleich $e$ ist.
$\log_{2}$ in der Informatik, $\lg = \log_{10}$ bei Dezibel, pH-Wert und Größenordnungen.
Enthält die Basis selbst die Variable, gilt diese Regel nicht – dann wird der Ausdruck stattdessen in natürliche Logarithmen umgeschrieben.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[\log_{2}\left(x\right)\right]

Basiswechsel.
$\log_{2}x = \frac{\ln x}{\ln 2}$
$\frac{1}{\ln 2}$ ist ein konstanter Faktor.
$= \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln 2}$

Ergebnis

\frac{1}{x \ln\left(2\right)}

Die Form von $\ln x$, senkrecht gestreckt um $\tfrac{1}{\ln 2} \approx 1{,}44$, und f′ entsprechend über der Kurve $\tfrac{1}{x}$. Ein Basiswechsel skaliert das ganze Bild; er verbiegt es nicht.

Etwa $1{,}4427/x$ – steiler als $\ln x$, weil $\log_{2}$ schneller wächst.

log(2,x) im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[\log_{10}\left(x\right)\right]

Derselbe Weg, Basis $10$.
$= \frac{1}{x\ln 10}$

Ergebnis

\frac{1}{x \ln\left(10\right)}

Das flachste Mitglied der Familie, und seine Ableitung – etwa $\tfrac{0{,}434}{x}$ – ist die kleinste von allen.

$\ln 10 \approx 2{,}3026$, der Zehnerlogarithmus hat also weniger als die halbe Steigung von $\ln x$.

log(10,x) im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[\log_{2}\left(x^{3}\right)\right]

Zuerst das Logarithmusgesetz für Potenzen: $\log_{2}x^{3} = 3\log_{2}x$.
$= 3\;\frac{d}{dx}\left[\log_{2}x\right]$
Dann die Regel zur Basis $a$.
$= \frac{3}{x\ln 2}$

Ergebnis

\frac{3}{x \ln\left(2\right)}

Dreimal so hoch wie $\log_{2}x$ und an jeder Stelle dreimal so steil, denn $\log_{2}x^{3} = 3\log_{2}x$.

Die Kettenregel liefert dasselbe: $\frac{3x^{2}}{x^{3}\ln 2} = \frac{3}{x\ln 2}$.

log(2,x^3) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[\log_{5}\left(3 x\right)\right]

Kettenregel mit $u = 3x$.
$= \frac{1}{3x\ln 5}\cdot 3$
Die $3$ kürzt sich.
$= \frac{1}{x\ln 5}$

Ergebnis

\frac{1}{x \ln\left(5\right)}

Nur für $x > 0$. Die Kurve steigt erst steil und geht dann in einen fast geraden Anstieg über, während f′ zur Achse hin abklingt.

Wie bei $\ln$ verschiebt ein konstanter Faktor im Logarithmus den Graphen nur, ohne ihn zu kippen.

log(5,3x) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[x \log_{2}\left(x\right)\right]

Produktregel mit $f = x$, $g = \log_{2}x$.
$= 1 \cdot \log_{2}x + x\cdot\frac{1}{x\ln 2}$
Im zweiten Summanden kürzt sich $x$.
$= \log_{2}x + \frac{1}{\ln 2}$

Ergebnis

\log_{2}\left(x\right) + \frac{1}{\ln\left(2\right)}

Die $n\log n$-Kurve, bekannt aus der Laufzeit von Sortierverfahren, mit einem Tiefpunkt bei $x = \tfrac{1}{e}$, wo f′ die Achse kreuzt.

Die Form $n\log_{2}n$ kennst du als Laufzeit von Mergesort – ihre Ableitung macht die Kurve gerade eben steiler als linear.

x log(2,x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

Der Teiler ist $\ln a$, der natürliche Logarithmus der Basis – nicht $\log a$ und nicht $a$.
$\log(a, x)$ bedeutet hier Basis $a$; ein $\log(x)$ mit nur einem Argument ist der natürliche Logarithmus.
Eine variable Basis braucht eine Umformung, nicht diese Regel.

Ableitung des natürlichen Logarithmus Umschreiben in natürliche Logarithmen Faktorregel

Was die Regel besagt

Wann sie gilt

Fünf durchgerechnete Beispiele

Typische Fehler

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