Ableitungsrechner

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten einfach stehen.

\[\left(cf\right)' = c\,f'\]

Was die Regel besagt

Streckst du eine Funktion mit einer festen Zahl, streckst du auch ihre Änderungsrate mit derselben Zahl. Streckst du einen Graphen senkrecht mit dem Faktor \(3\), verdreifacht sich jede Steigung darauf.

Deshalb dürfen Vorfaktoren aus der Ableitung herausgezogen und am Ende wieder angehängt werden. Zusammen mit der Summenregel ergibt das die Linearität: \(\left(af + bg\right)' = af' + bg'\) – die Eigenschaft, die das Ableiten von Polynomen so angenehm macht.

Die Division durch eine Konstante ist dieselbe Regel in Verkleidung, denn \(\frac{f}{c}\) ist \(\frac{1}{c}f\). Die Quotientenregel wäre hier erlaubt, aber unnötig umständlich.

Wann sie gilt

  • Eine Zahl oder ein konstantes Symbol multipliziert eine Funktion von \(x\).
  • Eine Funktion wird durch eine Konstante geteilt.
  • Eine Konstante versteckt sich in einem Produkt, etwa das \(\cos 9\) in \(6x\cos(9)\sin x\) – das ist einfach eine Zahl.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[7 x^{3}\right]\]

  1. Die \(7\) herausziehen.

    \[\frac{d}{dx}\left[7x^{3}\right] = 7\;\frac{d}{dx}\left[x^{3}\right]\]

  2. Potenzregel, dann zurückmultiplizieren.

    \[= 7 \cdot 3x^{2} = 21x^{2}\]
Ergebnis
\[21 x^{2}\]

Eine gestreckte kubische Funktion mit der schmalen Parabel \(21x^{2}\) darunter. f′ berührt die Achse im Ursprung, wo die kubische Kurve kurz waagerecht wird (Sattelpunkt), und ist auf beiden Seiten positiv. Der Faktor 7 hat beide Kurven um denselben Faktor senkrecht gestreckt.

Der Vorfaktor wird nie abgeleitet; er multipliziert nur das Ergebnis.

7x^3 im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[-4 \sin\left(x\right)\right]\]

  1. Die Konstante ist \(-4\), samt Vorzeichen.

    \[= -4\;\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]\]

  2. Ableitung der Sinusfunktion.

    \[= -4\cos x\]
Ergebnis
\[-4 \cos\left(x\right)\]

Der Faktor \(-4\) spiegelt die Welle und ihre Steigung gemeinsam, f′ hat seine Maxima also auf der anderen Seite der Achse als ohne Faktor.

Lass das Vorzeichen an der Konstanten hängen, statt es getrennt mitzuschleppen.

-4 sin(x) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{2}}{5}\right]\]

  1. Durch \(5\) teilen heißt mit \(\tfrac{1}{5}\) multiplizieren.

    \[\frac{x^{2}}{5} = \tfrac{1}{5}x^{2}\]

  2. Faktorregel, dann Potenzregel.

    \[= \tfrac{1}{5}\cdot 2x = \frac{2x}{5}\]
Ergebnis
\[\frac{2 x}{5}\]

Eine auf ein Fünftel gestauchte Parabel, mit der Geraden \(\tfrac{2x}{5}\) als Steigung – ein Fünftel so steil wie das übliche \(2x\).

Keine Quotientenregel nötig – im Nenner steht kein \(x\).

x^2/5 im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[3 \ln\left(x\right)\right]\]

  1. Die \(3\) nach vorn ziehen.

    \[= 3\;\frac{d}{dx}\left[\ln x\right]\]

  2. Ableitung des Logarithmus.

    \[= 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\]
Ergebnis
\[\frac{3}{x}\]

f steigt immer langsamer, während f′ gegen null abklingt: die bekannte \(\tfrac{1}{x}\)-Kurve, dreimal so hoch.

Alternativ ist \(3\ln x = \ln x^{3}\), abgeleitet \(\frac{3x^{2}}{x^{3}} = \frac{3}{x}\) – dasselbe Ergebnis auf einem längeren Weg.

3 ln(x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[6 \cos\left(9\right) \sin\left(x\right)\right]\]

  1. In \(\cos 9\) steckt kein \(x\), also ist \(6\cos 9\) ein einziger konstanter Faktor.

    \[= 6\cos(9)\;\frac{d}{dx}\left[\sin x\right]\]

  2. Nur \(\sin x\) wird abgeleitet.

    \[= 6\cos(9)\cos x\]
Ergebnis
\[6 \cos\left(9\right) \cos\left(x\right)\]

\(\cos 9 \approx -0{,}911\), die gesamte Konstante ist also etwa \(-5{,}47\), und f ist eine auf den Kopf gestellte Sinuskurve mit dieser Amplitude.

Eine Winkelfunktion einer Zahl ist eine Zahl. Suche erst die Variable, bevor du entscheidest, was konstant ist.

6 cos(9) sin(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Nur Konstanten dürfen heraus. \(\frac{d}{dx}\left[x\sin x\right] \neq x\cos x\) – dafür brauchst du die Produktregel.
  • Die Konstante wird hier nicht zu null; das ist die Konstantenregel, und die gilt für einen alleinstehenden Summanden.
  • Eine Konstante im Exponenten ist kein Faktor: \(x^{3}\) braucht die Potenzregel, nicht diese.

Häufige Vorfaktoren und ihre Ableitungen

Eine Konstante mal die Variable ergibt abgeleitet die Konstante selbst. Die Ableitung der Variablen liefert eine 1, und der Vorfaktor bleibt einfach stehen.

Ausdruck Ableitung Öffnen
2x 2 Rechenweg
4x 4 Rechenweg
5x 5 Rechenweg
6x 6 Rechenweg
8x 8 Rechenweg
55x 55 Rechenweg
60x 60 Rechenweg
81x 81 Rechenweg
800x 800 Rechenweg
6w 6 Rechenweg
2y 2 Rechenweg
x/2 1/2 Rechenweg

Das Muster gilt für jede andere Zahl genauso – der Rechner nimmt jede, die du brauchst.

SummenregelProduktregelKonstantenregel