Ableitung von arcsin, arccos und arctan

Was die Regel besagt

Jede davon folgt aus der Regel für Umkehrfunktionen. Für $y = \arcsin x$ gilt $\sin y = x$; leitet man beide Seiten ab, ergibt sich $\cos y \cdot y' = 1$, also $y' = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$, wegen $\cos y = \sqrt{1 - \sin^{2}y}$.

Die Tabelle: $\left(\arcsin x\right)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$, $\left(\arccos x\right)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$, $\left(\arctan x\right)' = \frac{1}{1 + x^{2}}$. Die Arkus-Kofunktionen sind die Negativen ihrer Partner, weil $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ konstant ist.

Weil diese Ableitungen rein algebraisch sind, tauchen Arkusfunktionen als Stammfunktionen von Integralen auf, die nach allem aussehen, nur nicht nach Trigonometrie.

Wann sie gilt

$\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$ und ihre Kehrwert-Partner.
Im Rechner auf zwei Arten eingebbar: $\texttt{arctan(x)}$ oder $\texttt{tan\^-1(x)}$.
Zusammen mit der Kettenregel bei zusammengesetztem Argument, etwa $\arctan(3x)$.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[\arcsin\left(x\right)\right]

Aus $\sin y = x$ beide Seiten ableiten.
$\cos y \cdot y' = 1$
$\cos y = \sqrt{1 - x^{2}}$ einsetzen.
$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Ergebnis

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Beide Kurven existieren nur auf $[-1, 1]$, deshalb ist der Ausschnitt so eng. f′ ist eine positive Mulde, die an beiden Enden über alle Grenzen wächst, wo der Arkussinus senkrecht wird, und im Ursprung ihren kleinsten Wert 1 erreicht.

Definiert für $-1 < x < 1$ und an beiden Rändern unbeschränkt, dort wo die Sinuskurve umkehrt.

arcsin(x) im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[\arccos\left(x\right)\right]

Dieselbe Herleitung – oder beachte, dass $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$.
$= -\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Ergebnis

-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

Das Spiegelbild: f fällt von $\pi$ auf 0, während f′ dieselbe Mulde ist, nur unter die Achse geklappt.

Genau das Negative der Arkussinus-Ableitung, weil die beiden Funktionen zusammen eine Konstante ergeben.

arccos(x) im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[\arctan\left(x\right)\right]

Aus $\tan y = x$.
$\sec^{2}y \cdot y' = 1$
Und $\sec^{2}y = 1 + \tan^{2}y = 1 + x^{2}$.
$y' = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Ergebnis

\frac{1}{1 + x^{2}}

f nähert sich an beiden Enden $\pm\tfrac{\pi}{2}$, und f′ ist ein Hügel der Höhe 1 über dem Ursprung. Nirgends wird etwas unendlich.

Für jedes reelle $x$ definiert – deshalb ist $\arctan$ eine so gutmütige Funktion.

arctan(x) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[\arctan\left(3 x\right)\right]

Kettenregel mit $u = 3x$.
$= \frac{1}{1 + \left(3x\right)^{2}}\cdot 3$
Das Innere quadrieren.
$= \frac{3}{1 + 9x^{2}}$

Ergebnis

\frac{3}{1 + 9 x^{2}}

Dieselbe S-Kurve, dreifach gestaucht, f′ ist also dreimal so hoch und dreimal so schmal.

Die $3$ wird im Nenner quadriert, im Zähler aber nicht – eine beliebte Fehlerquelle.

arctan(3x) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[x \arctan\left(x\right)\right]

Produktregel.
$= 1 \cdot \arctan x + x\cdot\frac{1}{1 + x^{2}}$
Aufräumen.
$= \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}}$

Ergebnis

\arctan\left(x\right) + \frac{x}{1 + x^{2}}

Ein glattes Tal mit dem Boden im Ursprung, wo f′ das Vorzeichen wechselt. Weit draußen wächst f fast linear.

Das Paar hinter $\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$.

x arctan(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

$\tan^{-1}x$ bedeutet $\arctan x$, nicht $\frac{1}{\tan x}$.
Das Minuszeichen gehört zu $\arccos$ und $\text{arccot}$, nicht zu $\arcsin$ oder $\arctan$.
$\arcsin$ und $\arccos$ sind nur auf $[-1, 1]$ definiert, ihre Ableitungen nur im Inneren dieses Intervalls.

Ableitung der Winkelfunktionen Kettenregel Ableitung der Areafunktionen

Was die Regel besagt

Wann sie gilt

Fünf durchgerechnete Beispiele

Typische Fehler

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