Ableitungsrechner

Quotientenregel

Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles geteilt durch den Nenner zum Quadrat.

\[\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}\]

Was die Regel besagt

Ein Quotient \(\frac{f}{g}\) ist das Produkt \(f \cdot g^{-1}\). Die Regel ist also Produkt- und Kettenregel zusammen, anschließend aufgeräumt. Wer sie einmal so herleitet, sieht sofort, warum das Minuszeichen genau dort steht.

Die Reihenfolge im Zähler ist entscheidend. \(f'g - fg'\) und \(fg' - f'g\) unterscheiden sich im Vorzeichen, und nur das erste ist richtig. Die klassische Eselsbrücke: NAZ minus ZAN durch N² – Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, durch Nenner zum Quadrat.

Das Ergebnis ist überall dort nicht definiert, wo \(g = 0\) ist – also genau dort, wo auch die Ausgangsfunktion nicht definiert ist.

Wann sie gilt

  • Ein Ausdruck mit der Variablen wird durch einen anderen geteilt, der die Variable ebenfalls enthält.
  • Gebrochenrationale Funktionen und Quotienten wie \(\frac{\sin x}{x}\).
  • Nicht nötig, wenn der Nenner konstant ist oder sich der Bruch in einfachere Summanden zerlegen lässt.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{x + 1}\right]\]

  1. Wähle \(f = x\), \(g = x + 1\).

    \[= \frac{1 \cdot \left(x + 1\right) - x \cdot 1}{\left(x + 1\right)^{2}}\]

  2. Der Zähler schrumpft zusammen.

    \[= \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\]

Eine Polstelle bei \(x = -1\) teilt den Graphen. f′ ist überall positiv, wo es existiert, keiner der Äste fällt also jemals – der linke steigt von unten heran, der rechte nähert sich \(y = 1\) von unten. f′ klingt mit wachsendem \(\left|x\right|\) ab, deshalb wird f flacher.

Immer positiv, und das passt: Die Funktion steigt überall, wo sie definiert ist.

x/(x+1) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{x^{2} + 1}{x - 1}\right]\]

  1. Die Regel mit \(f = x^{2} + 1\), \(g = x - 1\) anwenden.

    \[= \frac{2x\left(x - 1\right) - \left(x^{2} + 1\right)\cdot 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\]

  2. Den Zähler ausmultiplizieren.

    \[= \frac{2x^{2} - 2x - x^{2} - 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\]

  3. Gleichartige Terme zusammenfassen.

    \[= \frac{x^{2} - 2x - 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{x^{2} - 2 x - 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\]

Polstelle bei \(x = 1\), f′ wird bei \(1 \pm \sqrt{2}\) null – ein Extrempunkt auf jedem Ast, links ein Hochpunkt, rechts ein Tiefpunkt.

Den Zähler auszumultiplizieren lohnt sich – dort zeigen sich Vorzeichenfehler.

(x^2+1)/(x-1) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]\]

  1. Mit \(f = \sin x\), \(g = x\).

    \[= \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^{2}}\]

  2. Aufräumen.

    \[= \frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{x \cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}}\]

Die sinc-Kurve mit einem Maximum nahe 1 im Ursprung, die mit schrumpfender Amplitude ausschwingt; f′ kreuzt die Achse bei jeder Welle.

Die sinc-Funktion (Spaltfunktion). Ihre Ableitung ist genau dort null, wo \(\tan x = x\) gilt.

sin(x)/x im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{x}}{x^{2}}\right]\]

  1. Mit \(f = e^{x}\), \(g = x^{2}\).

    \[= \frac{e^{x}x^{2} - e^{x}\cdot 2x}{x^{4}}\]

  2. Einen Faktor \(x\) kürzen.

    \[= \frac{e^{x}\left(x - 2\right)}{x^{3}}\]
Ergebnis
\[\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{x^{3}}\]

Eine Polstelle im Ursprung. Rechts fällt f zu einem Tiefpunkt bei \(x = 2\), wo f′ die Achse kreuzt, und steigt dann an.

Nach der Regel noch zu kürzen ist ganz normal; die Ableitung ist bei \(x = 2\) null, am Tiefpunkt der Kurve.

e^x/x^2 im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]\]

  1. Dieser Quotient ist \(\tan x\). Die Regel anwenden.

    \[= \frac{\cos x\cos x - \sin x\left(-\sin x\right)}{\cos^{2}x}\]

  2. Der Zähler ist \(\cos^{2}x + \sin^{2}x = 1\).

    \[= \frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x\]
Ergebnis
\[\sec^{2}\left(x\right)\]

Dieser Quotient ist \(\tan x\). f′ fällt nie unter 1, jeder Ast steigt also, und keiner wird flach.

Daher kommt die Standardableitung von \(\tan\) – sie ist keine eigenständige Tatsache.

sin(x)/cos(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Der Zähler ist \(f'g - fg'\), in genau dieser Reihenfolge. Vertauschst du ihn, kippt das Vorzeichen des ganzen Ergebnisses.
  • Der Nenner ist \(g^{2}\) – nicht \(g\) und nicht \(\left(g'\right)^{2}\).
  • Ein konstanter Nenner braucht diese Regel nicht: \(\frac{f}{c} = \frac{1}{c}f\).
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