Ableitungsrechner

Logarithmisches Differenzieren

Steht die Variable gleichzeitig in Basis und Exponent, logarithmierst du zuerst.

\[\frac{d}{dx}f^{g} = f^{g}\left(g'\ln f + \frac{gf'}{f}\right)\]

Was die Regel besagt

Für \(x^{x}\) passt keine der Standardregeln: Die Potenzregel verlangt einen konstanten Exponenten, die Exponentialregel eine konstante Basis. Logarithmieren löst das Problem, denn \(\ln\) macht aus einem Exponenten einen gewöhnlichen Faktor.

Schreibe \(y = f^{g}\). Dann ist \(\ln y = g\ln f\); leitest du beide Seiten ab, erhältst du \(\frac{y'}{y} = g'\ln f + \frac{gf'}{f}\), und Multiplizieren mit \(y = f^{g}\) ergibt die Formel oben. Die beiden Summanden lassen sich klar deuten: Der erste ist die Änderung durch den Exponenten, der zweite die durch die Basis.

Der Trick hilft auch dort, wo er nicht nötig ist. Ein langes Produkt oder ein Quotient wird zu einer Summe von Logarithmen, die du Summand für Summand ableitest und am Ende zurückmultiplizierst – oft viel weniger Arbeit als verschachtelte Produktregeln.

Wann sie gilt

  • Die Variable steht in der Basis und im Exponenten.
  • Potenztürme wie \(x^{x}\), \(x^{\sin x}\) oder \((\sin x)^{\cos x}\).
  • Wahlweise, um ein Produkt oder einen Quotienten mit vielen Faktoren zu bändigen.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[x^{x}\right]\]

  1. Logarithmieren: \(\ln y = x\ln x\).

    \[\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\left[x\ln x\right] = \ln x + 1\]

  2. Mit \(y = x^{x}\) zurückmultiplizieren.

    \[= x^{x}\left(\ln x + 1\right)\]
Ergebnis
\[x^{x} \left(\ln\left(x\right) + 1\right)\]

Nur für \(x > 0\). Die Kurve sinkt nahe dem linken Rand in eine flache Mulde und steigt dann so schnell, dass der Ausschnitt eng gewählt werden muss, um sie im Bild zu halten. f′ steigt von unterhalb der Achse auf, geht an der Mulde durch null und davon.

Null bei \(x = \frac{1}{e}\) – dort erreicht \(x^{x}\) sein Minimum von etwa \(0{,}6922\).

x^x im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[x^{\sin\left(x\right)}\right]\]

  1. Mit \(f = x\) und \(g = \sin x\), also \(f' = 1\) und \(g' = \cos x\).

    \[= x^{\sin x}\left(\cos x\,\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)\]
Ergebnis
\[x^{\sin\left(x\right)} \left(\cos\left(x\right) \ln\left(x\right) + \frac{\sin\left(x\right)}{x}\right)\]

Eine unruhige Kurve – die Basis wächst, während der Exponent schwingt –, aber f′ ist trotzdem an jedem Extrempunkt von f null.

Der erste Summand ist die Änderung des Exponenten, der zweite die der Basis.

x^sin(x) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)}\right]\]

  1. Jetzt \(f = \sin x\), \(g = \cos x\), \(f' = \cos x\), \(g' = -\sin x\).

    \[= \left(\sin x\right)^{\cos x}\left(-\sin x\,\ln \sin x + \frac{\cos^{2}x}{\sin x}\right)\]
Ergebnis
\[\sin\left(x\right)^{\cos\left(x\right)} \left(\left(-\sin\left(x\right)\right) \ln\left(\sin\left(x\right)\right) + \frac{\cos^{2}\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\right)\]

Nur definiert, wo \(\sin x > 0\); die Kurve erscheint also in Bögen, und f′ ist an beiden Rändern jedes Bogens steil.

Nur gültig, wo \(\sin x > 0\), denn der Logarithmus der Basis muss existieren.

sin(x)^cos(x) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{x}}\right]\]

  1. \(f = x\), \(g = \frac{1}{x}\), also \(g' = -\frac{1}{x^{2}}\).

    \[= x^{1/x}\left(-\frac{\ln x}{x^{2}} + \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{x}\right)\]

  2. Auf den Nenner \(x^{2}\) bringen.

    \[= x^{1/x}\,\frac{1 - \ln x}{x^{2}}\]
Ergebnis
\[\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(1 - \ln\left(x\right)\right)}{x^{2}}\]

f steigt steil aus dem Ursprung, rundet sich über einen breiten Buckel und sinkt dann langsam wieder in Richtung 1.

Null bei \(x = e\): das Maximum von \(x^{1/x}\). Deshalb schlägt \(e^{1/e}\) jedes andere \(x^{1/x}\).

x^(1/x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\left(x^{2} + 1\right)^{x}\right]\]

  1. \(f = x^{2} + 1\), \(g = x\), also \(g' = 1\) und \(f' = 2x\).

    \[= \left(x^{2} + 1\right)^{x}\left(\ln\left(x^{2} + 1\right) + \frac{2x^{2}}{x^{2} + 1}\right)\]
Ergebnis
\[\left(x^{2} + 1\right)^{x} \left(\ln\left(x^{2} + 1\right) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}\right)\]

f klingt links gegen null ab und steigt rechts steil an, f′ ist durchgehend positiv.

Hier sind beide Summanden positiv, die Funktion ist für \(x > 0\) also streng monoton steigend.

(x^2+1)^x im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • Auf \(x^{x}\) nicht die Potenzregel anwenden – der Exponent ist nicht konstant.
  • Auch nicht die Exponentialregel – die Basis ist nicht konstant.
  • Am Ende mit \(y\) zurückmultiplizieren – der Logarithmus-Schritt liefert \(\frac{y'}{y}\), nicht \(y'\).
Ableitung der ExponentialfunktionPotenzregelAbleitung des natürlichen Logarithmus