Ableitungsrechner

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Der natürliche Logarithmus hat als Ableitung den Kehrwert seines Arguments.

\[\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\]

Was die Regel besagt

\(\ln x\) ist die Umkehrfunktion von \(e^{x}\), und beim Umkehren wird die Steigung zum Kehrwert. Da \(e^{x}\) an der Höhe \(y\) die Steigung \(e^{x} = y\) hat, hat die Umkehrfunktion dort die Steigung \(\frac{1}{y}\) – an der Stelle \(x\) also \(\frac{1}{x}\).

Das ist genau die Ableitung, die die Lücke der Potenzregel füllt. Jede Potenz \(x^{n}\) hat wieder eine Potenz als Stammfunktion – außer für \(n = -1\); die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist \(\ln x\).

Verkettet mit einer anderen Funktion lautet das Muster \(\frac{u'}{u}\): Ableitung des Inneren durch das Innere. Diese Form solltest du auf einen Blick erkennen, denn sie taucht auch beim Integrieren ständig auf.

Wann sie gilt

  • Der natürliche Logarithmus der Variablen oder eines Ausdrucks darin.
  • \(\log(x)\) bedeutet in diesem Rechner den natürlichen Logarithmus, wie in den meisten mathematischen Texten.
  • Jedes Muster \(\frac{u'}{u}\), rückwärts gelesen.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[\ln\left(x\right)\right]\]

  1. Direkt nach der Regel.

    \[\frac{d}{dx}\left[\ln x\right] = \frac{1}{x}\]
Ergebnis
\[\frac{1}{x}\]

f steigt unbegrenzt, aber immer langsamer, und f′ fällt gegen null. Nahe dem Ursprung kehren sich die Rollen um: f stürzt gegen \(-\infty\), während f′ steigt – beides Folgen derselben senkrechten Tangente.

Nur für \(x > 0\) definiert; dort ist die Ableitung positiv und wird immer kleiner.

ln(x) im Rechner öffnen
Beispiel 2
\[\frac{d}{dx}\left[\ln\left(5 x\right)\right]\]

  1. Kettenregel: Ableitung des Inneren durch das Innere.

    \[= \frac{1}{5x}\cdot\frac{d}{dx}\left[5x\right] = \frac{5}{5x}\]

  2. Die \(5\) kürzt sich.

    \[= \frac{1}{x}\]
Ergebnis
\[\frac{1}{x}\]

Die Kurve ist um \(\ln 5 \approx 1{,}61\) angehoben, und doch ist f′ genau das \(\tfrac{1}{x}\) des vorigen Graphen: Eine senkrechte Verschiebung ändert keine Steigung.

Keine Überraschung, sobald du siehst, dass \(\ln 5x = \ln 5 + \ln x\): Die beiden Funktionen unterscheiden sich um eine Konstante, haben also dieselbe Steigung.

ln(5x) im Rechner öffnen
Beispiel 3
\[\frac{d}{dx}\left[\ln\left(x^{2} + 1\right)\right]\]

  1. Ableitung des Inneren durch das Innere, mit \(u = x^{2} + 1\).

    \[= \frac{1}{x^{2} + 1}\cdot 2x\]

  2. Aufräumen.

    \[= \frac{2x}{x^{2} + 1}\]
Ergebnis
\[\frac{2 x}{x^{2} + 1}\]

Eine symmetrische Schale mit dem Boden im Ursprung, flankiert von einer punktsymmetrischen Ableitung, die bei \(x = \pm 1\) ihre Extremwerte hat und danach abklingt.

Das Argument wird nie null, die Ableitung ist also für alle reellen \(x\) definiert.

ln(x^2+1) im Rechner öffnen
Beispiel 4
\[\frac{d}{dx}\left[x \ln\left(x\right)\right]\]

  1. Produktregel mit \(f = x\), \(g = \ln x\).

    \[= 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}\]

  2. Der zweite Summand vereinfacht sich zu \(1\).

    \[= \ln x + 1\]
Ergebnis
\[\ln\left(x\right) + 1\]

f fällt zu einem Tiefpunkt bei \(x = \tfrac{1}{e} \approx 0{,}368\), und f′ kreuzt genau dort die Achse.

Deshalb gilt \(\int \ln x\,dx = x\ln x - x\).

x ln(x) im Rechner öffnen
Beispiel 5
\[\frac{d}{dx}\left[\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\right]\]

  1. Ableitung des Inneren durch das Innere, mit \(u = \sin x\).

    \[= \frac{1}{\sin x}\cdot\cos x\]

  2. Das ist der Kotangens.

    \[= \cot x\]
Ergebnis
\[\frac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}\]

Bögen zwischen den Nullstellen von \(\sin x\), die an beiden Enden gegen \(-\infty\) stürzen, während f′ in jedem Bogen von \(+\infty\) nach \(-\infty\) läuft.

Ein schönes Beispiel dafür, wie die Form \(\frac{u'}{u}\) eine bekannte Funktion liefert.

ln(sin(x)) im Rechner öffnen

Typische Fehler

  • \(\frac{d}{dx}\ln u\) ist \(\frac{u'}{u}\), nicht \(\frac{1}{u}\) – die innere Ableitung gehört zum Ergebnis.
  • \(\ln(x^{2})\) ist nicht \(\left(\ln x\right)^{2}\). Das erste ergibt \(\frac{2}{x}\), das zweite \(\frac{2\ln x}{x}\).
  • Bei einer anderen Basis als \(e\) kommt ein Faktor \(\frac{1}{\ln a}\) hinzu – siehe die Regel zur Basis \(a\).
Ableitung des Logarithmus zur Basis aKettenregelLogarithmisches Differenzieren