Eine Größe, die sich nie ändert, hat keine Änderungsrate.
\[\frac{d}{dx}c = 0\]
Was die Regel besagt
Eine Ableitung misst, wie schnell sich etwas ändert, wenn sich \(x\) bewegt. Eine Konstante – \(5\), \(\pi\), \(\ln 7\) – hat für jedes \(x\) denselben Wert. Sie ändert sich also überhaupt nicht, und ihre Ableitung ist null.
Über die Definition: Ist \(f(x) = c\), dann ist der Differenzenquotient \(\frac{c - c}{h} = 0\) für jedes \(h \neq 0\), also ist auch der Grenzwert für \(h \to 0\) gleich \(0\). Geometrisch ist \(y = c\) eine waagerechte Gerade, und eine waagerechte Gerade hat überall die Steigung null.
Das Wort „konstant“ bedeutet immer konstant bezüglich der Variablen, nach der du ableitest. In \(\frac{d}{dx}\left[ax\right]\) ist \(a\) eine Konstante; in \(\frac{d}{da}\left[ax\right]\) ist \(a\) die Variable und \(x\) die Konstante.
Wann sie gilt
Der Ausdruck enthält die Ableitungsvariable an keiner Stelle.
Eine Zahl, eine benannte Konstante wie \(\pi\) oder \(e\) oder eine beliebige Rechnung damit.
Ein Symbol, das nicht die Ableitungsvariable ist: \(a\), \(k\) und \(c\) sind bezüglich \(x\) alle konstant.
Fünf durchgerechnete Beispiele
Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er
die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die
Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.
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Beispiel 1
\[\frac{d}{dx}\left[5\right]\]
Der Ausdruck enthält kein \(x\), sein Wert ist also für jedes \(x\) gleich.
\[\frac{d}{dx}\left[5\right] = 0\]
Ergebnis
\[0\]
f ist eine waagerechte Gerade bei 5, und f′ liegt flach auf der Achse. Wohin du dich entlang der x-Achse auch bewegst, die Höhe ändert sich nie – es gibt keine Änderungsrate. Fahre mit der Maus über einen beliebigen Punkt: Die Anzeige für f′ bleibt bei 0.
Der Graph ist die waagerechte Gerade \(y = 5\): überall Steigung null.
Der Ausdruck wird vor dem Zeichnen zu 1 vereinfacht, f ist also die Gerade \(y = 1\) und f′ ist null.
Ein häufiger Ausrutscher ist, die Potenzregel anzuwenden und \(0 \cdot x^{-1}\) zu schreiben. Abseits von \(x = 0\) stimmt das Ergebnis zufällig, der saubere Weg ist aber, zuerst zu \(1\) zu vereinfachen.
Die erste ansteigende Gerade in dieser Reihe: f steigt pro Einheit nach rechts um etwa 1,41 Einheiten, und f′ ist eine waagerechte Gerade auf genau dieser Höhe.
Eine alleinstehende Konstante verschwindet; eine Konstante als Faktor vor einer Funktion bleibt erhalten. Das sind zwei verschiedene Regeln.
Eine Ableitung von \(0\) heißt nicht „keine Ableitung“ – die Ableitung existiert, ihr Wert ist null.
Nur ein alleinstehender konstanter Summand fällt weg. Ein konstanter Faktor bleibt nach der Faktorregel erhalten.
Ob etwas konstant ist, hängt von der Variablen ab: \(\frac{d}{dx}\left[t^{2}\right] = 0\), aber \(\frac{d}{dt}\left[t^{2}\right] = 2t\).
Häufige Konstanten und ihre Ableitungen
Jede dieser Ableitungen ist null, ganz gleich, wie groß die Zahl ist. Der Wert ändert sich nicht, wenn sich x bewegt – es gibt also keine Änderungsrate.
