Ableitung von sinh, cosh und tanh

Was die Regel besagt

Sie sind direkt aus Exponentialfunktionen gebaut: $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ und $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$. Leitet man diese Definitionen ab, folgt sofort $\left(\sinh x\right)' = \cosh x$ und $\left(\cosh x\right)' = \sinh x$ – nirgends ein Minuszeichen.

Der Rest folgt mit der Quotientenregel: $\left(\tanh x\right)' = \operatorname{sech}^{2}x = \frac{1}{\cosh^{2}x}$, $\left(\operatorname{sech} x\right)' = -\operatorname{sech} x\tanh x$, $\left(\coth x\right)' = -\operatorname{csch}^{2}x$.

Die zugehörige Identität ist $\cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1$ – ein Minus, wo die Kreisfunktionen ein Plus haben. Dieser eine Vorzeichenunterschied ist der ganze Unterschied zwischen den beiden Familien.

Wann sie gilt

$\sinh$, $\cosh$, $\tanh$ und ihre Kehrwerte.
Kettenlinien (hängende Seile) und $\tanh$ als Aktivierungsfunktion in neuronalen Netzen.
Zusammen mit der Kettenregel bei zusammengesetztem Argument.

Fünf durchgerechnete Beispiele

Jede Zeile ist der Schritt, den auch der Rechner zeigen würde, in der Reihenfolge, in der er die Regeln anwendet. Jeder Graph ist interaktiv: Fahre darüber, um beide Kurven abzulesen und die Tangente zu sehen, deren Steigung die Ableitung ist; ziehen verschiebt, scrollen zoomt.

Beispiel 1

\frac{d}{dx}\left[\sinh\left(x\right)\right]

Die Definition summandenweise ableiten.
$\frac{d}{dx}\left[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\right] = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$
Das ist genau $\cosh x$.
$= \cosh x$

Ergebnis

\cosh\left(x\right)

f′ ist $\cosh$, das an jeder Stelle über $\sinh$ liegt; die beiden Kurven nähern sich an, treffen sich aber nie. Rechts werden beide von $\tfrac{e^{x}}{2}$ beherrscht, und der Abstand schließt sich; links taucht $\sinh$ ab, während $\cosh$ steigt.

Kein Minuszeichen, anders als bei den Kreisfunktionen.

sinh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 2

\frac{d}{dx}\left[\cosh\left(x\right)\right]

Dieselbe Herleitung andersherum.
$= \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} = \sinh x$

Ergebnis

\sinh\left(x\right)

Die Kettenlinie – die Form eines hängenden Seils. f′ kreuzt die Achse bei $x = 0$, wo das Seil am tiefsten hängt.

Das Paar geht mit der Periode zwei ineinander über, nicht mit vier.

cosh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 3

\frac{d}{dx}\left[\tanh\left(x\right)\right]

Quotientenregel auf $\frac{\sinh x}{\cosh x}$.
$= \frac{\cosh^{2}x - \sinh^{2}x}{\cosh^{2}x}$
Die Identität macht den Zähler zu $1$.
$= \frac{1}{\cosh^{2}x} = \operatorname{sech}^{2}x$

Ergebnis

\operatorname{sech}^{2}\left(x\right)

f ist eine sanfte Stufe von $-1$ nach $1$, im Ursprung am steilsten, und f′ ist der Hügel, der diese Steilheit misst.

Immer zwischen $0$ und $1$ und an beiden Enden verschwindend – die Sättigung, die $\tanh$ als Aktivierungsfunktion nützlich macht.

tanh(x) im Rechner öffnen

Beispiel 4

\frac{d}{dx}\left[\sinh\left(3 x\right)\right]

Kettenregel mit $u = 3x$.
$= \cosh\left(3x\right)\cdot 3$

Ergebnis

3 \cosh\left(3 x\right)

Dreifach gestaucht, f′ ist also $3\cosh 3x$ und überragt f deutlich. Beide Kurven verlassen das Fenster fast sofort.

Die Kettenregel funktioniert genau wie bei den Kreisfunktionen.

sinh(3x) im Rechner öffnen

Beispiel 5

\frac{d}{dx}\left[x \cosh\left(x\right)\right]

Produktregel.
$= 1 \cdot \cosh x + x\sinh x$

Ergebnis

\cosh\left(x\right) + x \sinh\left(x\right)

f steigt durch den Ursprung, und f′ bleibt überall positiv – die Kurve kehrt nie um.

Die Form einer Kette, die entlang ihrer Länge zusätzlich belastet ist.

x cosh(x) im Rechner öffnen

Typische Fehler

$\left(\cosh x\right)' = +\sinh x$. Das Minuszeichen der Kreisfunktionen fehlt hier.
$\operatorname{sech}$ und $\operatorname{csch}$ bekommen doch Minuszeichen – das Muster lautet nicht „nirgends ein Minus“.
$\cosh^{2}x - \sinh^{2}x = 1$, nicht $+$. Mit der Identität der Kreisfunktionen wird der Zähler falsch.

Ableitung der Exponentialfunktion Ableitung der Areafunktionen Ableitung der Winkelfunktionen

Was die Regel besagt

Wann sie gilt

Fünf durchgerechnete Beispiele

Typische Fehler

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