Der Differentialquotient
Jede Ableitungsregel, die du jemals verwenden wirst, ist eine Abkürzung für einen einzigen Grenzwert, den Differentialquotienten:
\[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]
Der Bruch ist der Differenzenquotient – die Steigung der Sekante durch \((x \mid f(x))\) und \((x + h \mid f(x + h))\). Mit \(h \to 0\) rutscht der zweite Punkt auf den ersten, und die Sekante wird zur Tangente. In Schulbüchern tauchen zwei gleichwertige Formen auf:
\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \qquad\text{und}\qquad f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
Die erste – die „x-Methode“ – ist praktisch, wenn du die Ableitung an einer bestimmten Stelle willst; die zweite erklärt, woher die Schreibweise \(dy/dx\) kommt.
Das Verfahren in vier Schritten
Die h-Methode folgt immer denselben vier Schritten:
- Schreibe \(f(x + h)\) vollständig aus, indem du überall \(x + h\) für \(x\) einsetzt.
- Ziehe \(f(x)\) ab und vereinfache den Zähler. Alles ohne \(h\) muss sich wegheben – wenn nicht, prüfe Schritt 1.
- Teile durch \(h\) bzw. kürze \(h\). Damit das erlaubt ist, muss jeder verbleibende Summand einen Faktor \(h\) enthalten.
- Lass \(h \to 0\) gehen. Jeder Summand, der noch ein \(h\) trägt, verschwindet; was übrig bleibt, ist die Ableitung.
In Schritt 2 steckt die Arbeit. Bleibt nach dem Abziehen eine einzelne Konstante im Zähler stehen, war das Ausmultiplizieren in Schritt 1 falsch.
Beispiel: x²
Nimm \(f(x) = x^{2}\).
\[\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{(x+h)^{2} - x^{2}}{h}\]
Mit der ersten binomischen Formel: \((x+h)^{2} = x^{2} + 2xh + h^{2}\), die \(x^{2}\)-Terme heben sich also auf.
\[= \frac{2xh + h^{2}}{h} = \frac{h(2x + h)}{h} = 2x + h\]
Jetzt \(h \to 0\), und das Ergebnis ist \(2x\) – genau das, was die Potenzregel in einer Zeile liefert.
Beispiel: √x und die dritte binomische Formel
Nimm \(f(x) = \sqrt{x}\). Der Zähler \(\sqrt{x+h} - \sqrt{x}\) hat keinen offensichtlichen Faktor \(h\), also erweiterst du mit dem Term, der die dritte binomische Formel möglich macht:
\[\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{(x+h) - x}{h\left(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\right)}\]
Der Zähler schrumpft auf \(h\), und das kürzt sich:
\[= \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \;\xrightarrow{\;h \to 0\;}\; \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
Das Erweitern mit der dritten binomischen Formel ist der Standardtrick, sobald eine Wurzel im Zähler steht – präg ihn dir ein.
Beispiel: sin x und warum im Bogenmaß
Für \(f(x) = \sin x\) liefert das Additionstheorem \(\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h\), und der Quotient wird zu:
\[\sin x\left(\frac{\cos h - 1}{h}\right) + \cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)\]
Zwei Standardgrenzwerte beenden die Rechnung: \(\frac{\sin h}{h} \to 1\) und \(\frac{\cos h - 1}{h} \to 0\). Übrig bleibt \(\cos x\).
Deshalb setzen die Ableitungen der Winkelfunktionen das Bogenmaß voraus. Im Gradmaß strebt \(\frac{\sin h}{h}\) gegen \(\pi/180\) statt gegen 1, und jede Formel trüge diesen Faktor mit sich.
Prüfe dein Ergebnis
Rechne den Grenzwert zuerst von Hand, dann leite hier ab und vergleiche. Die Regeln werden in der Reihenfolge ihrer Anwendung benannt.
Was dieser Rechner kann und was nicht
Der Rechner auf dieser Seite leitet mit den Regeln ab, nicht über den Grenzwert – er berechnet \(\lim_{h \to 0}\) nicht symbolisch. Nutze ihn wie die Lösungen hinten im Schulbuch: Rechne die h-Methode von Hand und prüfe dann, ob dein Ergebnis übereinstimmt.
Weichen die beiden ab, liegt der Fehler fast immer in Schritt 2 des Verfahrens oben: ein Ausmultiplizieren, bei dem ein Summand verloren ging, oder ein Kürzen, das nicht erlaubt war.
Häufige Fragen
Was ist die h-Methode?
Die Berechnung einer Ableitung direkt über den Differentialquotienten \(\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\), statt Potenz-, Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel anzuwenden.
Warum die h-Methode lernen, wenn die Regeln schneller sind?
Weil die Regeln Sätze sind und die h-Methode ihr Beweis. Klausuren fragen sie ausdrücklich ab, und nur so siehst du, warum die Abkürzungen funktionieren, statt sie einfach zu glauben.
Berechnet dieser Rechner den Grenzwert?
Nein. Die Engine leitet symbolisch mit den Regeln ab. Sie ist ein Werkzeug, um dein von Hand gefundenes Ergebnis zu prüfen, kein Grenzwertrechner.
Warum muss sich alles ohne h wegheben?
Weil du gleich durch \(h\) teilst. Bliebe ein Summand ohne \(h\) stehen, würde der Quotient für \(h \to 0\) über alle Grenzen wachsen, statt sich auf eine endliche Steigung einzupendeln.
Was ist das h in der Definition?
Die Breite des Intervalls zwischen den beiden Punkten auf dem Graphen. Manche Schulbücher schreiben stattdessen \(\Delta x\); gemeint ist dasselbe.