f′ aus der Form von f ablesen
Die beiden Kurven sind keine unabhängigen Bilder. Alles, was die Ableitung tut, ist eine Aussage über die Form der Funktion darüber, und vier Zusammenhänge decken fast jede Klausuraufgabe ab:
- \(f'\) hat eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, wo \(f\) einen Hoch- oder Tiefpunkt hat; ohne Vorzeichenwechsel ist es ein Sattelpunkt.
- \(f'\) oberhalb der Achse heißt, \(f\) steigt; unterhalb heißt, \(f\) fällt.
- \(f'\) weit weg von der Achse heißt, \(f\) ist steil; nah an der Achse heißt, \(f\) ist fast waagerecht.
- \(f'\) wächst über alle Grenzen, wo \(f\) eine senkrechte Tangente oder eine Polstelle in der Nähe hat.
Fahre mit der Maus über den Graphen oben, und an dieser Stelle erscheint eine Tangente. Ihre Steigung ist die Höhe der grünen Kurve direkt darunter – dieses eine Bild ist der ganze Zusammenhang.
Graphisch ableiten: f′ skizzieren, wenn du nur den Graphen hast
Den Graphen von \(f\) ohne Funktionsterm zu bekommen und \(f'\) skizzieren zu sollen, ist eine Standardaufgabe – das „graphische Ableiten“. Geh in dieser Reihenfolge vor:
- Markiere jeden Hoch- und Tiefpunkt von \(f\). Dort liegen die Nullstellen von \(f'\).
- Entscheide dazwischen, ob \(f\) steigt oder fällt. Steigen heißt, \(f'\) liegt über der Achse, Fallen darunter.
- Suche in jedem Abschnitt die steilste Stelle. Das ist ein Wendepunkt von \(f\) – dort hat \(f'\) seinen Extremwert.
- Prüfe die Ränder: Wird \(f\) flacher, nähert sich \(f'\) der Null.
Das Ergebnis wird nicht exakt sein, und das muss es auch nicht – eine Skizze wird nach Nullstellen, Vorzeichen und grober Form bewertet. Gib oben eine Funktion ein und blende \(f\) über die Legende aus, um dich an der echten Lösung zu testen.
Krümmung und die zweite Ableitung
Die zweite Ableitung beschreibt, wie sich die erste ändert, und das zeigt sich in der Krümmung von \(f\):
- \(f'' > 0\): Der Graph ist linksgekrümmt (Linkskurve), und \(f'\) wächst.
- \(f'' < 0\): Der Graph ist rechtsgekrümmt (Rechtskurve), und \(f'\) fällt.
- \(f'' = 0\) mit Vorzeichenwechsel: ein Wendepunkt, an dem die Krümmung umschlägt.
Stell die Ordnung auf 2, um \(f\) zusammen mit \(f''\) zu zeichnen, oder lies den Abschnitt zu höheren Ableitungen auf der Rechner-Seite.
Ableitungen in der Kurvendiskussion
In der Schule heißt die vollständige Untersuchung eines Graphen Kurvendiskussion. Die Ableitungen liefern dabei die wichtigsten Bausteine:
- Monotonie: Wo ist \(f' > 0\), wo \(f' < 0\)? Dort steigt bzw. fällt der Graph.
- Extrempunkte: Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\), hinreichend zusätzlich \(f''(x) \neq 0\) oder ein Vorzeichenwechsel von \(f'\).
- Wendepunkte: Notwendige Bedingung \(f''(x) = 0\), hinreichend zusätzlich \(f'''(x) \neq 0\) oder ein Vorzeichenwechsel von \(f''\).
- Krümmung: Das Vorzeichen von \(f''\) sagt, ob der Graph eine Links- oder Rechtskurve beschreibt.
Der Rechner markiert die Nullstellen von \(f'\) im Graphen automatisch – ein guter Weg, um deine eigene Rechnung zu kontrollieren.
So bedienst du den Graphen
- Ziehen verschiebt, Scrollen oder Zwei-Finger-Geste zoomt, ein Klick versetzt die Markierung.
- Pfeiltasten verschieben, wenn der Graph den Fokus hat; + und − zoomen, 0 setzt zurück.
- Die Einträge der Legende sind Schalter – blende eine Kurve aus, um deine Deutung der anderen zu prüfen.
- An Polstellen bleibt eine Lücke, statt die Äste zu verbinden – eine senkrechte Asymptote sieht also nie wie eine fast senkrechte Linie aus.
Häufige Fragen
Wie zeichne ich den Graphen einer Ableitung?
Gib oben die Funktion ein, und beide Kurven werden zusammen gezeichnet – die Funktion in Terrakotta, ihre Ableitung in Grün. Nichts wird irgendwohin gesendet; die Kurven werden in deinem Browser berechnet.
Was verrät der Graph der Ableitung über die Ausgangsfunktion?
Wo \(f'\) mit Vorzeichenwechsel die Achse schneidet, hat \(f\) einen Extrempunkt. Wo \(f'\) positiv ist, steigt \(f\). Je weiter \(f'\) von der Achse entfernt ist, desto steiler ist \(f\) an dieser Stelle.
Wie skizziere ich f′, wenn ich nur den Graphen von f habe?
Markiere die Hoch- und Tiefpunkte von \(f\) als Nullstellen von \(f'\), bestimme das Vorzeichen von \(f'\) in jedem Abschnitt dazwischen und setze die Extremwerte von \(f'\) dorthin, wo \(f\) am steilsten ist – an die Wendestellen von \(f\).
Kann ich auch die zweite Ableitung zeichnen lassen?
Ja – stell die Ordnung auf 2, dann zeigt der Graph \(f\) zusammen mit \(f''\). Das brauchst du für Krümmung und Wendepunkte.
Warum hat die Kurve Lücken?
Beide Kurven werden Punkt für Punkt berechnet, und wo eine Funktion nicht definiert ist – an einer Polstelle oder außerhalb des Definitionsbereichs –, wird kein Punkt gezeichnet. Die Lücke zu überbrücken würde eine Linie zeichnen, die nicht zum Graphen gehört.