Steigung an einer Stelle und Ableitungsfunktion
Die Ableitung \(f'(x)\) ist eine Funktion: Du gibst ein \(x\) hinein und bekommst eine Zahl heraus. Diese Zahl ist die Steigung des Graphen an dieser Stelle – genau das meint „die Ableitung an einer Stelle“. Sie zu berechnen ist ein Vorgang in zwei Schritten: erst ableiten, dann einsetzen.
Die Reihenfolge ist entscheidend. Setzt du vor dem Ableiten ein, wird aus \(f(x)\) eine Konstante, und deren Ableitung ist null. Das ist einer der häufigsten Fehler beim Einstieg in die Differentialrechnung, und er liefert immer dasselbe falsche Ergebnis: 0.
Ein Beispiel von Anfang bis Ende
Nimm \(f(x) = x^{3} - 3x\) an der Stelle \(a = 2\).
- Ableiten: \(f'(x) = 3x^{2} - 3\).
- Einsetzen: \(f'(2) = 3 \cdot 4 - 3 = 9\). Das ist die Steigung.
- Den Punkt bestimmen: \(f(2) = 8 - 6 = 2\), der Graph geht also durch \((2 \mid 2)\).
- Zusammensetzen: \(y = 9(x - 2) + 2\), vereinfacht \(y = 9x - 16\).
Stell oben die Stelle auf 2, und jede dieser Zahlen erscheint. Setz sie auf 1, und die Steigung wird 0 – der Graph hat dort eine waagerechte Tangente, hier einen Tiefpunkt.
Die Tangentengleichung aufstellen
Hast du die Steigung \(m = f'(a)\) und den Punkt \((a, f(a))\), folgt die Tangentengleichung aus der Punkt-Steigungs-Form:
\[y = f'(a)\,(x - a) + f(a)\]
In der Form \(y = mx + b\) ist der y-Achsenabschnitt \(b = f(a) - f'(a)\,a\). Der Rechner oben gibt die fertige Gleichung aus und zeichnet die Tangente in den Graphen, damit du prüfen kannst, ob sie an der richtigen Stelle berührt und im richtigen Winkel liegt.
Die Normale
Die Normale steht im selben Punkt senkrecht auf der Tangente, ihre Steigung ist also \(-1/f'(a)\) – vorausgesetzt \(f'(a) \neq 0\). Wo die Tangente waagerecht ist, ist die Normale senkrecht und hat überhaupt keine Steigung.
Wenn die Ableitung dort nicht existiert
Eine Ableitung an einer Stelle kann fehlen, obwohl die Funktion dort ganz normal definiert ist:
- Knickstellen. \(f(x) = |x|\) bei \(x = 0\): Von links strebt die Steigung gegen \(-1\), von rechts gegen \(+1\) – es gibt keinen einzelnen Wert.
- Senkrechte Tangenten. \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) bei \(x = 0\): Die Steigung wächst über alle Grenzen.
- Sprungstellen. Springt \(f\) bei \(a\), kann es dort keine Tangente geben. Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit – niemals umgekehrt.
Probier abs(x) an der Stelle 0: Die Ableitung, die der Rechner ausgibt, nutzt \(\operatorname{sgn}(x)\) – richtig auf beiden Seiten und genau am Knick nicht definiert.
Typische Fehler
- Vor dem Ableiten einsetzen. \(f(2) = 2\) ist eine Konstante; abgeleitet ergibt das 0, nicht 9.
- Den Funktionswert \(f(a)\) angeben, obwohl nach der Steigung \(f'(a)\) gefragt war.
- Die Tangente durch den Ursprung legen. Sie muss durch \((a \mid f(a))\) gehen, nicht durch \((0 \mid 0)\).
- Annehmen, dass es überall eine Steigung gibt. Knicke und senkrechte Tangenten kommen in Klausuren gerade deshalb so oft vor.
Häufige Fragen
Wie berechne ich die Ableitung an einer bestimmten Stelle?
Erst die Funktion ableiten, dann die Stelle in das Ergebnis einsetzen. Der Rechner oben erledigt beides – Funktion eingeben und die Stelle einstellen.
Was ist der Unterschied zwischen f(a) und f′(a)?
\(f(a)\) ist die Höhe des Graphen bei \(a\), \(f'(a)\) seine Steigung dort. Eine Frage nach dem „Funktionswert“ will das Erste; „Steigung“, „Änderungsrate“ oder „Tangentensteigung“ meinen das Zweite.
Wie stelle ich die Tangentengleichung auf?
Mit \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\). Du brauchst zwei Zutaten: den Punkt \((a \mid f(a))\) und die Steigung \(f'(a)\).
Was bedeutet es, wenn die Ableitung an einer Stelle null ist?
Die Tangente ist waagerecht – ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt. Welcher davon, entscheidet die zweite Ableitung oder der Vorzeichenwechsel von \(f'\) an dieser Stelle.
Kann die Ableitung an einer Stelle fehlen?
Ja – an Knickstellen wie bei \(|x|\) im Nullpunkt, bei senkrechten Tangenten wie bei \(\sqrt[3]{x}\) im Nullpunkt und überall dort, wo die Funktion unstetig ist.