Was eine partielle Ableitung misst
Eine Funktion einer Variablen hat genau eine Änderungsrate. Eine Funktion zweier Variablen ändert sich in jeder Richtung anders, die Frage „Wie schnell ändert sich \(f\)?“ braucht also eine Richtung. Die partiellen Ableitungen beantworten die einfachste Version dieser Frage: Wie schnell ändert sich \(f\), wenn du dich parallel zu einer Achse bewegst?
Für \(f(x, y)\) bildest du die partielle Ableitung \(\partial f/\partial x\), indem du \(y\) wie eine Konstante behandelst und ganz normal ableitest. Alles, was du schon kennst, gilt weiter – Produktregel, Kettenregel, Potenzregel. Neu ist nur die Anweisung, welche Symbole eingefroren werden.
Die Schreibweise lesen
- \(\partial f/\partial x\), \(f_x\) und \(\partial_x f\) bedeuten alle dasselbe.
- Das geschwungene \(\partial\) statt \(d\) signalisiert gerade, dass die anderen Variablen festgehalten werden.
- \(f_{xy}\) heißt: erst nach \(x\), dann nach \(y\) ableiten – gelesen wird von links nach rechts.
Durchgerechnetes Beispiel mit zwei Variablen
Nimm \(f(x, y) = x^{2}y^{3} + \sin(x)\,y\).
Nach x ableiten
\(y\) bleibt konstant. Der erste Summand trägt den konstanten Faktor \(y^{3}\), die Potenzregel liefert also \(2xy^{3}\). Im zweiten Summanden ist \(y\) ein konstanter Faktor, die Ableitung des Sinus liefert \(y\cos x\). Zusammen:
\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^{3} + y\cos x\]
Nach y ableiten
Jetzt ist \(x\) eingefroren. Der erste Summand hat den konstanten Faktor \(x^{2}\) und ergibt \(3x^{2}y^{2}\). Der zweite ist die Konstante \(\sin(x)\) mal \(y\) und ergibt abgeleitet \(\sin x\). Zusammen:
\[\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{2}y^{2} + \sin x\]
Stell oben die Variable um und sieh zu, wie sich der Rechenweg ändert. Dieselbe Engine, dieselben Regeln – nur die eingefrorenen Symbole sind andere.
Zweite und gemischte partielle Ableitungen
Zweimal ableiten liefert vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung: \(f_{xx}\), \(f_{yy}\) und die beiden gemischten \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\). Stell die Ordnung auf 2, um \(f_{xx}\) oder \(f_{yy}\) direkt zu erhalten.
Im Beispiel oben ist \(f_{xx} = 2y^{3} - y\sin x\) und \(f_{yy} = 6x^{2}y\). Beide gemischten Ableitungen ergeben \(6xy^{2} + \cos x\) – der Satz von Schwarz in Aktion: Sind die zweiten partiellen Ableitungen stetig, spielt die Reihenfolge des Ableitens keine Rolle.
Der Gradient
Fasst du die partiellen Ableitungen zu einem Vektor zusammen, erhältst du den Gradienten \(\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle\). Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs, und seine Länge gibt an, wie steil dieser Anstieg ist. Jede Richtungsableitung ist ein Skalarprodukt mit ihm – deshalb beginnt der Rechner für Richtungsableitungen genau mit diesen partiellen Ableitungen.
Totale und partielle Ableitung
Hängen \(x\) und \(y\) selbst von \(t\) ab, ändert sich \(f\) aus zwei Gründen gleichzeitig, und die partiellen Ableitungen allein erfassen das nicht. Die mehrdimensionale Kettenregel addiert die Beiträge:
\[\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\]
Dieselbe Idee steckt hinter der Gaußschen Fehlerfortpflanzung in der Physik: Die Unsicherheit einer berechneten Größe setzt sich aus den partiellen Ableitungen nach jeder gemessenen Eingangsgröße zusammen.
Typische Fehler
- Die eingefrorene Variable trotzdem ableiten. Unter \(\partial/\partial x\) verhält sich \(y\) genau wie die Zahl 5.
- Bei gemischten Ableitungen die Reihenfolge der Indizes verwechseln. \(f_{xy}\) heißt: zuerst nach \(x\) ableiten. Bei stetigen Ableitungen ist das Ergebnis zwar gleich, im Rechenweg aber nicht.
- \(d\) statt \(\partial\) schreiben. Die Schreibweise zeigt an, dass die anderen Variablen festgehalten werden.
- Vergessen, dass ein Summand ohne \(y\) unter \(\partial/\partial y\) verschwindet – genau wie eine Konstante.
Häufige Fragen
Was ist eine partielle Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen nach einer von ihnen, während die anderen festgehalten werden. Für \(f(x, y)\) misst \(\partial f/\partial x\), wie sich \(f\) ändert, wenn sich \(x\) bewegt und \(y\) bleibt, wo es ist.
Wie leite ich partiell nach y ab?
Gib den Ausdruck ein und wähle bei „Ableiten nach“ die Variable y. Jedes andere Symbol wird als Konstante behandelt, Summanden ohne \(y\) werden also zu null.
Funktioniert der Rechner auch mit drei Variablen?
Ja. Jedes Symbol im Ausdruck erscheint in der Variablenauswahl, \(f(x, y, z)\) liefert also \(\partial f/\partial x\), \(\partial f/\partial y\) und \(\partial f/\partial z\).
Was ist der Unterschied zwischen partieller und totaler Ableitung?
Die partielle Ableitung hält die anderen Variablen fest. Die totale Ableitung berücksichtigt, dass sie sich ebenfalls ändern: Hängen \(x\) und \(y\) von \(t\) ab, gilt \(\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}\).
Sind gemischte partielle Ableitungen immer gleich?
Für die Funktionen aus Schule und Grundstudium ja – \(f_{xy} = f_{yx}\). Der Satz von Schwarz garantiert das, sobald beide gemischten Ableitungen stetig sind, und das gilt für alle elementaren Funktionen.
In welchem Fach oder Semester kommen partielle Ableitungen vor?
Nicht im Abitur, sondern an der Hochschule: in Analysis II bzw. „Mathematik für Ingenieure“, meist im zweiten Semester. Ableitungen von Funktionen einer Variablen gehören dagegen zum Schulstoff.