Die Idee
Eine partielle Ableitung misst die Änderung entlang einer Achse. Eine Richtungsableitung misst sie entlang einer beliebigen Richtung, die du wählst. Für eine Fläche \(z = f(x, y)\) beantwortet sie die Frage: Wenn ich von diesem Punkt aus in diese Himmelsrichtung gehe – wie steil steigt das Gelände an?
Die Definition kombiniert die beiden partiellen Ableitungen, gewichtet danach, wohin die Richtung zeigt:
\[D_{\hat u} f = \nabla f \cdot \hat u = f_x u_1 + f_y u_2\]
Dabei ist \(\hat u = \left(\begin{smallmatrix} u_1 \\ u_2 \end{smallmatrix}\right)\) ein Einheitsvektor, also ein Vektor der Länge 1. Der Rechner normiert jede eingegebene Richtung selbst, denn genau diesen Schritt zu vergessen ist hier der mit Abstand häufigste Fehler.
Der Gradient und was er verrät
Der Vektor \(\nabla f = \left(\begin{smallmatrix} f_x \\ f_y \end{smallmatrix}\right)\) heißt Gradient, und drei Eigenschaften beantworten die meisten Klausurfragen:
- Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.
- Seine Länge \(|\nabla f|\) ist dieser steilste Anstieg – keine Richtung ist steiler.
- Er steht senkrecht auf der Höhenlinie durch den Punkt; wer entlang einer Höhenlinie geht, hat also die Richtungsableitung null.
Alle drei folgen aus \(D_{\hat u} f = |\nabla f|\cos\theta\), wobei \(\theta\) der Winkel zwischen Richtung und Gradient ist. Maximal bei \(\theta = 0\), null bei \(90°\), am stärksten negativ bei \(180°\).
Durchgerechnetes Beispiel
Nimm \(f(x, y) = x^{2}y\) in Richtung \(\vec v = \left(\begin{smallmatrix} 3 \\ 4 \end{smallmatrix}\right)\).
- Partielle Ableitungen: \(f_x = 2xy\) und \(f_y = x^{2}\), also \(\nabla f = \left(\begin{smallmatrix} 2xy \\ x^{2} \end{smallmatrix}\right)\).
- Richtung normieren: \(|\vec v| = 5\), also \(\hat u = \left(\begin{smallmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \end{smallmatrix}\right)\).
- Skalarprodukt bilden: \(D_{\hat u} f = 0{,}6 \cdot 2xy + 0{,}8 \cdot x^{2} = 1{,}2xy + 0{,}8x^{2}\).
- Im Punkt \((1 \mid 2)\): \(1{,}2 \cdot 2 + 0{,}8 \cdot 1 = 3{,}2\).
Vergleiche mit dem steilsten möglichen Anstieg in \((1 \mid 2)\): \(\nabla f = \left(\begin{smallmatrix} 4 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)\) mit der Länge \(\sqrt{17} \approx 4{,}12\). Unsere Richtung schafft 3,2 von möglichen 4,12 – sie zeigt ziemlich bergauf, aber nicht genau.
Wenn die Richtung als Winkel gegeben ist
Oft ist eine Richtung als Winkel statt als Vektor gegeben. Rechne zuerst um: Eine Richtung im Winkel \(\theta\) zur positiven \(x\)-Achse ist \(\hat u = \left(\begin{smallmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{smallmatrix}\right)\) – und das ist bereits ein Einheitsvektor.
- \(30°\): \(\left(\begin{smallmatrix} \cos 30° \\ \sin 30° \end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix} 0{,}866 \\ 0{,}5 \end{smallmatrix}\right)\)
- \(45°\): \(\left(\begin{smallmatrix} 0{,}707 \\ 0{,}707 \end{smallmatrix}\right)\)
- \(60°\): \(\left(\begin{smallmatrix} 0{,}5 \\ 0{,}866 \end{smallmatrix}\right)\)
- \(120°\): \(\left(\begin{smallmatrix} -0{,}5 \\ 0{,}866 \end{smallmatrix}\right)\)
Trag diese Komponenten oben in die Richtungsfelder ein (mit Dezimalpunkt, also 0.866).
Typische Fehler
- Nicht normieren. Mit \(\left(\begin{smallmatrix} 3 \\ 4 \end{smallmatrix}\right)\) statt \(\left(\begin{smallmatrix} 0{,}6 \\ 0{,}8 \end{smallmatrix}\right)\) wird das Ergebnis fünfmal zu groß.
- Gradient und Richtungsableitung verwechseln. Der Gradient ist ein Vektor, die Richtungsableitung eine einzelne Zahl.
- Vergessen, dass der steilste Anstieg \(|\nabla f|\) ist, nicht \(\nabla f\).
- Entlang einer Höhenlinie eine Richtungsableitung ungleich null erwarten. Dort ändert sich die Funktion per Definition nicht.
Häufige Fragen
Was ist eine Richtungsableitung?
Die Rate, mit der sich \(f\) ändert, wenn du dich von einem Punkt aus in eine gewählte Richtung bewegst: \(D_{\hat u} f = \nabla f \cdot \hat u\).
Warum muss der Richtungsvektor ein Einheitsvektor sein?
Sonst skaliert das Ergebnis mit der Länge des Vektors, statt eine Änderung pro Längeneinheit zu messen. Dieser Rechner normiert die Richtung für dich.
Wie nutze ich einen Winkel statt eines Vektors?
Eine Richtung im Winkel \(\theta\) zur positiven \(x\)-Achse hat die Komponenten \(\cos\theta\) und \(\sin\theta\). Gib diese beiden Werte ein.
In welche Richtung wächst f am schnellsten?
In Richtung des Gradienten \(\nabla f\). Der Anstieg in dieser Richtung ist \(|\nabla f|\), und keine andere Richtung ist steiler.
In welchem Fach kommt die Richtungsableitung vor?
In der mehrdimensionalen Analysis an der Hochschule, typischerweise in Analysis II oder „Mathematik für Ingenieure 2“. Im Abitur kommt sie nicht vor.