Warum sie ein eigenes Verfahren brauchen
Beide Darstellungen beschreiben Kurven, die ein einzelnes \(y = f(x)\) nicht erfassen kann. Eine Parameterkurve gibt \(x\) und \(y\) getrennt in Abhängigkeit von einem Parameter \(t\) an; eine Kurve in Polarkoordinaten gibt den Radius \(r\) als Funktion des Winkels \(\theta\) an. In beiden Fällen liefert die Kettenregel \(dy/dx\).
Sie teilen sich eine Seite, weil sie sich ein Verfahren teilen: jede Koordinate nach dem Parameter ableiten, dann dividieren.
Parameterkurve: dy/dx aus x(t) und y(t)
Die Formel für Parameterkurven und die Falle bei der zweiten Ableitung
Für eine Kurve mit \(x = x(t)\) und \(y = y(t)\) liefert die Kettenregel:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad \frac{dx}{dt} \neq 0\]
Nimm \(x = t^{2}\), \(y = t^{3}\). Dann ist \(dx/dt = 2t\) und \(dy/dt = 3t^{2}\), also \(\frac{dy}{dx} = \frac{3t^{2}}{2t} = \frac{3t}{2}\). Die Steigung ist durch den Parameter ausgedrückt – und das ist meist genau richtig: Setze das \(t\) des Punktes ein, der dich interessiert.
Zweite Ableitungen
Eine häufige Falle: \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\) ist nicht \(\frac{d^{2}y/dt^{2}}{d^{2}x/dt^{2}}\). Leite die erste Ableitung nach \(t\) ab und teile dann noch einmal durch \(dx/dt\):
\[\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}\]
Für das Beispiel oben ergibt das \(\frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}\).
Wo die Kurve umkehrt
- Waagerechte Tangente, wo \(dy/dt = 0\) und \(dx/dt \neq 0\).
- Senkrechte Tangente, wo \(dx/dt = 0\) und \(dy/dt \neq 0\).
- Verschwinden beide gleichzeitig, kann dort eine Spitze liegen – die Formel sagt nichts aus, und du musst dir die Kurve ansehen.
Polarkoordinaten: dy/dx aus r(θ)
Die Formel für Polarkoordinaten
Eine Polarkurve \(r = r(\theta)\) wird über \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) zur Parameterkurve, mit \(\theta\) als Parameter. Produktregel auf beide Koordinaten und anschließendes Dividieren ergibt:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\]
Nimm die Kardioide \(r = 1 + \cos\theta\), also \(r' = -\sin\theta\). Bei \(\theta = \pi/2\) ist \(r = 1\), \(r' = -1\), und die Formel liefert \(\frac{-1 \cdot 1 + 0}{0 - 1} = 1\) – eine Steigung von 45°.
Die andere Ableitung, die gemeint sein könnte
\(dr/d\theta\) ist nicht die Steigung der Kurve. Sie gibt an, wie schnell der Radius beim Umlaufen wächst – eine andere Frage. Wird nach „der Steigung der Tangente“ gefragt, ist \(dy/dx\) mit der Formel oben gemeint.
Worauf du achten solltest
- Beide Rechner zeigen die Zwischenableitungen, denn in der Klausur gibt es genau dafür die Punkte.
- Die Ergebnisse bleiben in Abhängigkeit vom Parameter. Setze einen Wert für \(t\) oder \(\theta\) ein, um eine Zahl zu erhalten.
- Ein verschwindender Nenner hat eine Bedeutung: \(dx/dt = 0\) ist eine senkrechte Tangente, \(r'\cos\theta = r\sin\theta\) das Gegenstück in Polarkoordinaten.
- Parameterkurven und Polarkoordinaten sind Stoff der Hochschulmathematik (Analysis, Mathematik für Ingenieure); im Abitur spielen sie meist keine Rolle.
Häufige Fragen
Wie berechne ich dy/dx für eine Parameterkurve?
Leite beide Koordinaten nach dem Parameter ab und dividiere: \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\).
Wie berechne ich die zweite Ableitung einer Parameterkurve?
Leite \(dy/dx\) nach \(t\) ab und teile dann noch einmal durch \(dx/dt\). Die beiden zweiten Ableitungen einfach durcheinander zu teilen ist eine verbreitete, aber falsche Abkürzung.
Was ist dy/dx für eine Kurve in Polarkoordinaten?
\(\frac{dy}{dx} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}\). Das folgt aus \(x = r\cos\theta\) und \(y = r\sin\theta\) mit \(\theta\) als Parameter.
Ist dr/dθ die Steigung einer Polarkurve?
Nein. \(dr/d\theta\) ist die Rate, mit der sich der Radius beim Umlaufen ändert. Die Steigung der Tangente in der Ebene ist \(dy/dx\).
In welchem Fach kommt das vor?
Vor allem an der Hochschule, in Analysis und in „Mathematik für Ingenieure“, oft im ersten oder zweiten Semester. In der Schule tauchen Parameterkurven höchstens als Randthema auf.