Wann du es brauchst
Manche Kurven lassen sich nicht als \(y = f(x)\) schreiben. Der Kreis \(x^{2} + y^{2} = 25\) ordnet manchen \(x\)-Werten zwei \(y\)-Werte zu, keine einzelne Funktion beschreibt ihn also ganz. Implizites Differenzieren liefert \(dy/dx\) trotzdem – ohne je nach \(y\) aufzulösen.
Die Idee: Behandle \(y\) als unbekannte Funktion von \(x\), leite beide Seiten der Gleichung ab und wende jedes Mal die Kettenregel an, wenn ein \(y\) auftaucht – denn \(y\) nach \(x\) abgeleitet ergibt \(dy/dx\), nicht 1.
Das Verfahren
Bring alles auf eine Seite, sodass die Gleichung \(F(x, y) = 0\) lautet. Dann:
- Leite beide Seiten nach \(x\) ab und hänge an jeden Term, der von einem \(y\) stammt, den Faktor \(\frac{dy}{dx}\) an.
- Sammle alle Terme mit \(\frac{dy}{dx}\) auf einer Seite, den Rest auf der anderen.
- Klammere \(\frac{dy}{dx}\) aus und teile.
Die Abkürzung, die dieser Rechner nutzt, ist dasselbe Ergebnis in einer Zeile:
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}\]
Sie folgt aus dem Satz über implizite Funktionen, und deshalb werden die beiden partiellen Ableitungen neben dem Ergebnis angezeigt. Wo \(\partial F/\partial y = 0\) ist, ist die Tangente senkrecht, und \(dy/dx\) existiert nicht.
Beispiel: der Kreis
Nimm den Kreis \(x^{2} + y^{2} = 25\), also \(F = x^{2} + y^{2} - 25\).
Summandenweise nach \(x\) abgeleitet:
\[2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0\]
Das \(2y\frac{dy}{dx}\) kommt aus der Kettenregel – \(y^{2}\) ergibt abgeleitet \(2y\) mal die Ableitung des Inneren. Umgestellt:
\[\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\]
Plausibilitätsprüfung: Im Punkt \((3 \mid 4)\) ist die Steigung \(-3/4\) – senkrecht zum Radius, genau wie es bei einem Kreis sein muss. Im Punkt \((5 \mid 0)\) wird der Nenner null – und genau dort ist die Tangente senkrecht.
Beispiel: das kartesische Blatt
Das kartesische Blatt \(x^{3} + y^{3} = 6xy\) ist das klassische schwierigere Beispiel. Mit \(F = x^{3} + y^{3} - 6xy\) und Ableiten ergibt sich:
\[3x^{2} + 3y^{2}\frac{dy}{dx} = 6y + 6x\frac{dy}{dx}\]
Sammeln und ausklammern:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^{2}}{3y^{2} - 6x} = \frac{2y - x^{2}}{y^{2} - 2x}\]
Das Ergebnis enthält sowohl \(x\) als auch \(y\). Das ist beim impliziten Differenzieren normal – für eine Zahl brauchst du einen Punkt auf der Kurve, nicht nur ein \(x\).
Worauf du achten solltest
- Gib die Gleichung mit allem auf einer Seite ein. \(x^{2}+y^{2}=25\) wird zu x^2 + y^2 - 25.
- Das Ergebnis enthält normalerweise beide Variablen. Setze einen Punkt der Kurve ein, um eine Steigung zu erhalten.
- Wo \(\partial F/\partial y = 0\), teilt die Formel durch null – das ist eine senkrechte Tangente, kein Fehler in deiner Rechnung.
- Mit implizitem Differenzieren werden auch die Ableitungen der Umkehrfunktionen bewiesen: Starte mit \(\sin y = x\) und leite beide Seiten ab.
Häufige Fragen
Was ist implizites Differenzieren?
Ein Verfahren, um \(dy/dx\) für eine Kurve zu bestimmen, die durch eine Gleichung in \(x\) und \(y\) gegeben ist und nicht nach \(y\) aufgelöst wurde, zum Beispiel \(x^{2} + y^{2} = 25\).
Wie gebe ich eine Gleichung ein?
Bring alles auf eine Seite und tippe diesen Ausdruck ein. Für \(x^{2}+y^{2}=25\) gibst du x^2 + y^2 - 25 ein.
Warum enthält das Ergebnis noch y?
Weil die Kurve an verschiedenen Punkten mit demselben \(x\) unterschiedliche Steigungen hat. Setzt du einen Punkt \((x \mid y)\) der Kurve ein, erhältst du die Steigung dort.
Wann funktioniert implizites Differenzieren nicht?
Wo \(\partial F/\partial y = 0\) ist. Die Formel teilt dann durch null, und das entspricht einer senkrechten Tangente – die Steigung existiert dort tatsächlich nicht.
Kommt implizites Differenzieren im Abitur vor?
In den meisten Bundesländern nicht; es gehört zur Hochschulmathematik (Analysis, Mathematik für Ingenieure). Die Kettenregel, auf der das Verfahren beruht, ist aber fester Abiturstoff.