Der Hauptsatz, erster Teil
Differenzieren und Integrieren heben sich gegenseitig auf, und der erste Teil des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung (HDI) sagt genau, wie. Ist \(f\) stetig und
\[F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt\]
die Integralfunktion, dann ist \(F\) differenzierbar, und es gilt
\[\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\]
Das Integral sammelt Fläche; die Ableitung fragt, wie schnell die Fläche wächst; und die Antwort ist einfach die Höhe der Kurve am rechten Rand. Beachte, was mit der konstanten unteren Grenze \(a\) passiert ist – nichts. Sie taucht im Ergebnis nicht auf, denn ein anderer Startpunkt ändert die Gesamtfläche nur um eine Konstante, und Konstanten ergeben abgeleitet null.
Wenn die Grenze eine Funktion von x ist
Ist die obere Grenze eine Funktion von \(x\) statt \(x\) selbst, kommt die Kettenregel hinzu:
\[\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)\]
Zum Beispiel ist \(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}} \sin t\,dt = \sin(x^{2}) \cdot 2x\). Setze die Grenze in den Integranden ein und multipliziere mit der Ableitung der Grenze – dasselbe Muster „äußere mal innere Ableitung“ wie bei jeder anderen Verkettung.
Beide Grenzen variabel
Teile das Integral an einer beliebigen Konstanten und wende die Regel zweimal an, mit einem Minus für die untere Grenze:
\[\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x) - f(v(x))\,v'(x)\]
Das Minuszeichen ist keine zusätzliche Regel – es entsteht, weil beim ersten Teilstück die Grenzen vertauscht werden, und das kehrt das Vorzeichen eines Integrals um.
Vier durchgerechnete Beispiele
- \(\frac{d}{dx}\int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x}\). Die untere Grenze ist konstant, das Ergebnis ist also der Integrand an der Stelle \(x\). (Dieses Integral ist \(\ln x\), dessen Ableitung tatsächlich \(1/x\) ist.)
- \(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{3}} e^{t^{2}}\,dt = e^{x^{6}} \cdot 3x^{2}\). Für \(e^{t^{2}}\) gibt es keine elementare Stammfunktion – und man braucht auch keine.
- \(\frac{d}{dx}\int_{x}^{5} \cos t\,dt = -\cos x\). Die Variable steht in der unteren Grenze, also kehrt sich das Vorzeichen um.
- \(\frac{d}{dx}\int_{x}^{x^{2}} \ln t\,dt = \ln(x^{2}) \cdot 2x - \ln(x) \cdot 1 = 4x\ln x - \ln x\), mit \(\ln(x^{2}) = 2\ln x\).
Beispiel 2 solltest du dir merken: Der ganze Witz des Hauptsatzes ist, dass du die Stammfunktion nie bestimmen musst.
Wenn auch der Integrand x enthält
Enthält der Integrand selbst \(x\), braucht das Ableiten unter dem Integralzeichen die allgemeine Leibniz-Regel:
\[\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)} f(x, t)\,dt = f(x, u)\,u' - f(x, v)\,v' + \int_{v(x)}^{u(x)} \frac{\partial f}{\partial x}\,dt\]
Die ersten beiden Summanden stammen von den beweglichen Grenzen; der dritte berücksichtigt, dass der Integrand seine Form ändert, wenn sich \(x\) bewegt. In Schule und Grundstudium fehlt der dritte Summand meist, weil \(f\) nur von \(t\) abhängt.
Worauf du achten solltest
- Der Rechner auf dieser Website leitet Ausdrücke ab, keine Integrale. Diese Seite zeigt das Verfahren; rechne die Beispiele von Hand.
- Damit der Hauptsatz gilt, muss \(f\) auf dem Intervall stetig sein.
- Ein bestimmtes Integral mit zwei konstanten Grenzen ist einfach eine Zahl, seine Ableitung also null.
- „Eine Ableitung rückgängig machen“ ist die umgekehrte Operation – das Integrieren – und braucht einen Integralrechner, nicht diesen.
Häufige Fragen
Was ist die Ableitung eines Integrals?
Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x)\) – der Integrand, ausgewertet an der oberen Grenze.
Was, wenn die obere Grenze eine Funktion von x ist?
Dann multiplizierst du mit ihrer Ableitung: \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)\). Das ist die Kettenregel.
Was, wenn x in der unteren Grenze steht?
Das Vorzeichen kehrt sich um: \(\frac{d}{dx}\int_{x}^{b} f(t)\,dt = -f(x)\), weil das Vertauschen der Grenzen ein Integral negiert.
Muss ich zuerst die Stammfunktion bestimmen?
Nein – genau darum geht es im Hauptsatz. \(\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{3}} e^{t^{2}}dt\) ergibt \(3x^{2}e^{x^{6}}\), obwohl \(e^{t^{2}}\) keine elementare Stammfunktion hat.
Was ist die Ableitung eines bestimmten Integrals mit konstanten Grenzen?
Null. Mit zwei konstanten Grenzen ist das Integral eine feste Zahl, und Konstanten ergeben abgeleitet null.