Für x^x passt keine der Standardregeln: Die Potenzregel verlangt einen konstanten Exponenten, die
Exponentialregel eine konstante Basis. Logarithmierst du beide Seiten, wird der Exponent zu einem
gewöhnlichen Faktor, und die Aufgabe wird zur Routine.
Das Vorgehen
Schreibe y = f^g. Dann ist ln y = g ln f. Leitest du beide Seiten ab, erhältst du
y'/y = g' ln f + g f'/f, und Multiplizieren mit y erledigt den Rest. Die beiden Summanden lassen sich
einfach deuten: Der erste ist die Änderung durch den Exponenten, der zweite die durch die Basis.
Der andere Einsatzzweck
Der Trick hilft auch dort, wo er nicht nötig ist. Ein Produkt aus fünf Faktoren braucht vier verschachtelte Produktregeln – oder einen Logarithmus, eine Summe aus fünf einfachen Ableitungen und ein Zurückmultiplizieren. Bei unübersichtlichen Produkten und Quotienten ist das oft der kürzeste richtige Weg.
Auf der Seite zum logarithmischen Differenzieren findest du fünf
durchgerechnete Fälle, darunter x^(1/x), dessen Maximum bei x = e der Grund ist, warum e^(1/e) jedes
andere x^(1/x) schlägt.