Jeder Graph auf dieser Website zeichnet die Funktion und ihre Ableitung zusammen, denn das Paar sagt mehr als jede Kurve für sich.
Nullstellen zeigen Extrempunkte
Wo die Ableitung die Achse mit Vorzeichenwechsel schneidet, hat die Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt; berührt sie die Achse nur, ist es ein Sattelpunkt. Das ist der nützlichste Zusammenhang überhaupt – und der erste, den du prüfen solltest, wenn dir ein Ergebnis verdächtig vorkommt.
Das Vorzeichen zeigt die Richtung
Ableitung oberhalb der Achse: Die Funktion steigt. Unterhalb: Sie fällt. Eine Ableitung, die nie das
Vorzeichen wechselt, gehört zu einer Funktion, die nie umkehrt – eine kubische Funktion wie
x³ − 4x² + 7x − 9 ist ein gutes Beispiel, denn ihre Ableitung, eine Parabel, verfehlt die Achse
vollständig.
Die Höhe zeigt die Steilheit
Je weiter die Ableitung von der Achse entfernt ist, desto steiler ist die Funktion. Bei sin x und
cos x zeigt sich das als Versatz um eine Vierteldrehung: Der Kosinus hat genau dort sein Maximum, wo der
Sinus am schnellsten steigt.
Ausreißer zeigen senkrechte Tangenten
Wo die Ableitung oben aus dem Bild läuft, hat die Funktion in der Nähe eine senkrechte Tangente oder eine Polstelle – die Wurzelfunktion im Ursprung, der Arkussinus bei ±1.