Die Ableitung von |x| ist sgn x – plus eins rechts, minus eins links. Im Ursprung gibt es überhaupt
keine Ableitung, und genau diese Lücke ist das Interessante.
Warum der Grenzwert scheitert
Von rechts kommend ist der Differenzenquotient bei jedem Schritt +1, von links −1. Die einseitigen
Grenzwerte stimmen nicht überein, also existiert der beidseitige Grenzwert nicht. Der Graph hat einen
Knick statt einer Tangente, und ein Knick hat keine Steigung, die man angeben könnte.
Warum der Rechner trotzdem antwortet
Die Engine liefert sgn(u)·u', und das ist überall richtig, wo u nicht null ist – also überall außer an
einzelnen Stellen. Gar nicht zu antworten wäre weniger nützlich als eine Antwort mit ausgewiesener
Ausnahme. Deshalb steht der Hinweis auf der Regelseite, statt dass der Code einen Sonderfall behandelt.
Der Fall, der überrascht
x|x| ist im Ursprung differenzierbar. Der Faktor x bügelt den Knick aus, und die Ableitung 2|x|
berührt die Null ganz glatt.