Die Ableitung von arctan x ist 1/(1+x²) – ohne jede Spur von Trigonometrie. Das ist kein Zufall, und
die Herleitung erklärt es in drei Zeilen.
Die Regel für Umkehrfunktionen
Ist y = arctan x, dann gilt tan y = x. Beide Seiten ableiten: (1 + tan²y) · y' = 1, also
y' = 1/(1 + tan²y). Und weil tan y = x ist, wird daraus 1/(1 + x²) – die Trigonometrie ist
verschwunden.
Derselbe Trick überall
arcsin liefert auf demselben Weg über cos y = √(1−sin²y) die Ableitung 1/√(1−x²). Die Areafunktionen
ergeben 1/√(x²+1) und 1/(1−x²) und unterscheiden sich von den Kreisfunktionen nur durch Vorzeichen.
Warum das wichtig ist
Weil diese Ableitungen algebraisch sind, tauchen die Arkusfunktionen als Stammfunktionen von Integralen
auf, in denen keinerlei Trigonometrie vorkommt. 1/(1+x²) auf einen Blick zu erkennen ist mehr wert, als
die Ableitung in Vorwärtsrichtung auswendig zu können.